Konu anlatımı
Bir çokgenin kenarları üzerinde yürüyüp başladığın yere döndüğünü düşün: her köşede biraz dönersin ve tur sonunda toplam 360° dönmüş olursun. Bu dönüşler çokgenin dış açılarıdır. Bu alt başlıkta dış açılar toplamını ve bu toplamın sorularda nasıl kullanıldığını göreceksin.
Dış açı
Bir köşede bir kenarın uzantısı ile komşu kenar arasında kalan açıya o köşedeki dış açı denir. İç açı ile dış açı aynı köşede bütünlerdir: iç açı 130° ise dış açı 50°'dir. Dışbükey çokgende her iç açı 180°'den küçük olduğu için her dış açı 0° ile 180° arasındadır.
Toplam 360°
n köşenin her birinde iç ve dış açının toplamı 180° olduğundan bütün iç ve dış açıların toplamı n·180°'dir. İç açılar toplamı (n − 2)·180° olduğu için dış açılar toplamı n·180° − (n − 2)·180° = 360° bulunur. Sonuç kenar sayısına bağlı değildir: üçgende de ongende de dış açılar toplamı 360°'dir.
Dış açılarla çalışmak
Bir çokgenin iç açıları büyük sayılarla verildiğinde dış açılara geçmek hesabı kolaylaştırır. Örneğin bir altıgenin beş dış açısının toplamı 290° ise altıncı dış açı 70°, o köşedeki iç açı 110°'dir. Bir dışbükey çokgende dış açıların en çok üçü geniş olabilir, çünkü 90°'den büyük dört açının toplamı 360°'yi aşar; bu da en çok üç iç açının dar olabileceği anlamına gelir.
Çözümlü örnekler
Örnek 1. Bir çokgenin dış açılarının ölçüleri 40°, 50°, 60°, 70°, 80° ve x'tir. x kaç derecedir? Bu çokgenin en büyük iç açısı kaç derecedir?
Çözüm. Dış açılar toplamı 360° olduğundan 300° + x = 360° ve x = 60° bulunur. İç açılar dış açıların bütünleridir; en büyük iç açı, en küçük dış açının bulunduğu köşededir: 180° − 40° = 140°. Çokgenin altı köşesi olduğu için iç açılar toplamı 720°'dir ve 6·180° − 360° = 720° ile tutarlıdır.
Örnek 2. Bir dışbükey çokgenin dış açılarından üçü 100°, 120° ve 50°'dir; öbür dış açılarının her biri 18°'dir. Bu çokgen kaç kenarlıdır?
Çözüm. Dış açılar toplamı 360° olduğundan öbür dış açıların toplamı 360° − 270° = 90°'dir. Her biri 18° olduğuna göre bu açılardan 90°/18° = 5 tane vardır. Çokgenin 3 + 5 = 8 dış açısı, yani 8 kenarı vardır.
Sık yapılan hatalar
- Dış açılar toplamının kenar sayısıyla arttığını sanmak.
- Dış açıyı kenarın uzantısı yerine iki kenarın arasındaki iç bölgede aramak.
- Bir köşedeki iç ve dış açıyı toplayıp 360° sanmak; bu toplam 180°'dir.
- Her dışbükey çokgende dış açılar toplamı 360°'dir.
- Aynı köşedeki iç ve dış açı bütünlerdir.
- İç açılar büyükse dış açılarla çalış.