Konu anlatımı
Yer karolarında, arı peteğinde ve geleneksel motiflerde düzgün çokgenlerin bir noktanın çevresinde boşluksuz birleştiği görülür. Bu alt başlıkta bu birleşimin açı koşulunu ve ortak kenarlı düzgün çokgenlerle kurulan açı sorularını göreceksin.
Bir noktada kaplama
Düzgün çokgenler bir köşe noktasının çevresinde boşluk kalmadan ve üst üste binmeden birleşiyorsa o noktadaki iç açıların toplamı 360°'dir. Tek tür düzgün çokgenle bu yalnızca eşkenar üçgen (6 tane), kare (4 tane) ve düzgün altıgenle (3 tane) mümkündür; çünkü bir iç açı en az 60°'dir ve 360°'yi tam bölen iç açılar yalnızca 60°, 90° ve 120°'dir. Düzgün beşgenin 108°'lik iç açısı 360°'yi tam bölmediği için yalnızca beşgenlerle bir nokta kaplanamaz.
Farklı çokgenlerle
Farklı düzgün çokgenler de bir noktada birleşebilir: iki düzgün sekizgen ile bir kare (135° + 135° + 90° = 360°), bir kare, bir düzgün altıgen ve bir düzgün on iki kenarlı çokgen (90° + 120° + 150° = 360°), iki düzgün altıgen ile iki eşkenar üçgen (120° + 120° + 60° + 60° = 360°) bunlara örnektir. Soruda eksik çokgen sorulursa kalan açıyı bulup bu iç açıya sahip düzgün çokgeni ararsın.
Ortak kenarlı düzgün çokgenler
İki düzgün çokgen bir kenarı paylaşıyorsa bütün kenarları eştir. Ortak köşede iki çokgenin dışında kalan açı, 360°'den iki iç açı çıkarılarak bulunur; bu açının kolları eş kenarlar olduğu için bir ikizkenar üçgen oluşur. Örneğin bir kare ile bir düzgün altıgen ortak bir kenarın iki yanına kurulursa ortak köşede dışarıda kalan açı 360° − 90° − 120° = 150°'dir ve oluşan ikizkenar üçgenin taban açıları 15°'dir.
Çözümlü örnekler
Örnek 1. Bir noktanın çevresinde bir kare, bir düzgün altıgen ve bir düzgün çokgen boşluk kalmadan birleşiyor. Üçüncü çokgen kaç kenarlıdır?
Çözüm. Karenin iç açısı 90°, düzgün altıgeninki 120°'dir. Üçüncü çokgenin iç açısı 360° − 90° − 120° = 150° olmalıdır. Bu çokgenin dış açısı 30° ve kenar sayısı 360°/30° = 12'dir.
Örnek 2. ABCDE düzgün beşgeni ile ABFG karesi [AB] kenarını ortak kullanıyor ve kare beşgenin dışında kalıyor. m(EAG) kaç derecedir? EAG üçgeninin taban açıları kaç derecedir?
Çözüm. A köşesinde beşgenin iç açısı 108°, karenin iç açısı 90°'dir; iki çokgen [AB] kenarının farklı taraflarında olduğu için m(EAG) = 360° − 108° − 90° = 162° olur. Düzgün çokgenlerin kenarları eş olduğundan |AE| = |AB| = |AG| ve EAG üçgeni ikizkenardır. Taban açıları (180° − 162°)/2 = 9°'dir.
Örnek 3. Bir noktanın çevresi, en az birer tane kullanılmak üzere yalnızca eşkenar üçgenler ve karelerle boşluksuz kaplanacaktır. Kaç eşkenar üçgen ve kaç kare gerekir?
Çözüm. a eşkenar üçgen ve b kare kullanılırsa 60°·a + 90°·b = 360°, yani 2a + 3b = 12 olmalıdır. a ve b en az 1 olan tek çözüm a = 3 ve b = 2'dir. Yalnız üçgen kullanılsaydı 6, yalnız kare kullanılsaydı 4 çokgen gerekirdi.
Sık yapılan hatalar
- Kaplamada dış açıları toplamak; bir noktada birleşen iç açıların toplamı 360° olmalıdır.
- Her düzgün çokgenin tek başına bir noktayı kaplayabildiğini sanmak; bu yalnızca üçgen, kare ve altıgende mümkündür.
- Ortak kenarlı çokgenlerde kenarların eş olduğunu kullanmayı unutmak.
- Bir noktada birleşen iç açıların toplamı 360°'dir.
- Tek türle kaplama: 6 eşkenar üçgen, 4 kare ya da 3 düzgün altıgen.
- Ortak kenarlı düzgün çokgenlerde dışarıda kalan açı 360° eksi iki iç açıdır ve oluşan üçgen ikizkenardır.