Düzgün Çokgenlerde Açılar

Konu anlatımı

Bütün kenarları ve bütün açıları eş olan çokgenlere düzgün çokgen denir: eşkenar üçgen, kare ve düzgün altıgen en bilinenleridir. Bu alt başlıkta düzgün çokgenin bir iç ve bir dış açısını bulmayı ve açılardan kenar sayısına geçmeyi göreceksin.

Bir dış açı ve bir iç açı

Düzgün n-genin n dış açısı eştir ve toplamları 360° olduğundan bir dış açı 360°/n'dir. İç açı dış açının bütünleri olduğu için bir iç açı 180° − 360°/n = (n − 2)·180°/n olur. Düzgün beşgende dış açı 72°, iç açı 108°; düzgün altıgende 60° ve 120°; düzgün on iki kenarlı çokgende 30° ve 150°'dir.

Kenar sayısını bulmak

Bir iç açı verildiğinde önce dış açıyı bul, sonra 360°'yi dış açıya böl. Bir iç açısı 156° olan düzgün çokgenin dış açısı 24° ve kenar sayısı 360°/24° = 15'tir. Dış açı 360°'yi tam bölmüyorsa böyle bir düzgün çokgen yoktur; örneğin bir iç açısı 130° olan düzgün çokgen yoktur, çünkü 50° 360°'yi tam bölmez.

Kenar sayısı arttıkça düzgün çokgenin dış açısı küçülür, iç açısı büyür ve 180°'ye yaklaşır; ama hiçbir zaman 180°'ye ulaşmaz. En küçük iç açı, 60°'lik açısıyla eşkenar üçgendedir.

Oranlar

İç açı ile dış açının toplamı 180° olduğundan aralarındaki oran ya da fark verilirse ikisi de bulunur. İç açı dış açının k katıysa dış açı 180°/(k + 1) ve kenar sayısı 2·(k + 1) olur. Örneğin iç açı dış açının 5 katı ise dış açı 30° ve çokgen 12 kenarlıdır.

Çözümlü örnekler

Sık yapılan hatalar

• Kenar sayısını bulurken 360°'yi iç açıya bölmek.
• Dış açı 360°'yi tam bölmediği hâlde kenar sayısı yazmak; böyle bir düzgün çokgen yoktur.
• Düzgün olmayan bir çokgende bütün dış açıları eşit almak.