Konu anlatımı
Katı cisimler uzayda yer kaplayan üç boyutlu cisimlerdir: bir kutu, bir konserve kutusu, bir dondurma külahı ya da bir top gibi. Bir cismin yüzey alanı onu kaplamak için gereken malzemenin, hacmi ise içine sığan maddenin ölçüsüdür. Hacim birimleri uzunluk birimlerinin küpüdür: cm³, m³ gibi; 1 litre 1 dm³'e, yani 1000 cm³'e eşittir.
Bu sayfada dik prizmaları, küp ve dikdörtgenler prizmasını, dik piramitleri, dik dairesel silindir ve koniyi, küreyi ve bu cisimlerle kurulan su seviyesi ve hacim aktarma problemlerini göreceksin. Prizma ve piramitlerde taban olarak üçgen, dörtgen ve düzgün altıgen kullanılır. Her başlığın ayrıntısı alt başlıklarda yer alıyor.
Dik prizma
Tabanları eş ve paralel iki çokgen, yan yüzleri tabanlara dik dikdörtgenler olan cisme dik prizma denir. Hacmi taban alanı ile yüksekliğin çarpımıdır: V = A·h. Yanal alan taban çevresi ile yüksekliğin çarpımıdır; yüzey alanı ise yanal alan ile iki taban alanının toplamıdır.
Küp ve dikdörtgenler prizması
Ayrıtları a, b ve c olan dikdörtgenler prizmasının hacmi a·b·c, yüzey alanı 2·(ab + bc + ac) olur; cisim köşegeninin uzunluğu √(a² + b² + c²) olur. Ayrıtı a olan küpün hacmi a³, yüzey alanı 6a², cisim köşegeni a√3'tür.
Dik piramit
Tabanı bir çokgen, yan yüzleri ortak bir tepe noktasında birleşen üçgenler olan cisme piramit denir; tepe noktasından tabana inen dikme tabanın merkezine iniyorsa piramit dik piramittir. Hacmi taban alanı ile yüksekliğin çarpımının üçte biridir: V = A·h/3. Kare dik piramitte yan yüz yüksekliği, piramidin yüksekliği ve taban kenarının yarısı bir dik üçgen oluşturur.
Silindir ve koni
Yarıçapı r, yüksekliği h olan dik dairesel silindirin hacmi πr²h, yanal alanı 2πrh, yüzey alanı 2πrh + 2πr²'dir. Aynı taban ve yükseklikli dik dairesel koninin hacmi silindirinkinin üçte biridir: πr²h/3. Koninin ana doğrusu ℓ ise ℓ² = r² + h² ve yanal alanı πrℓ olur.
Küre
Yarıçapı r olan kürenin yüzey alanı 4πr², hacmi 4πr³/3'tür. Kürenin yüzey alanı, merkezinden geçen büyük dairenin alanının dört katıdır. Bir küpün içine yerleştirilebilecek en büyük kürenin çapı küpün ayrıtına eşittir.
Su seviyesi ve hacim aktarma
Yan yüzleri dik olan bir kaba tamamen batan bir cisim konursa, su taşmadığı sürece cismin hacmi, su yüzeyinin alanı ile suyun yükselme miktarının çarpımına eşittir. Bir kaptan başka bir kaba aktarılan sıvının hacmi değişmez; bu yüzden iki kaptaki sıvı hacimleri eşitlenerek yeni yükseklik bulunur.
Çözümlü örnekler
Örnek 1. Ayrıtları 3 cm, 4 cm ve 12 cm olan dikdörtgenler prizmasının hacmi, yüzey alanı ve cisim köşegeni kaçtır?
Çözüm. Hacim 3·4·12 = 144 cm³'tür. Yüzey alanı 2·(3·4 + 4·12 + 3·12) = 2·96 = 192 cm²'dir. Cisim köşegeni √(3² + 4² + 12²) = √169 = 13 cm'dir; önce taban köşegeni 5 cm, sonra 5-12-13 üçgeniyle de bulunabilir.
Örnek 2. Taban ayrıtı 10 cm ve yüksekliği 12 cm olan kare dik piramidin hacmi ve yüzey alanı kaçtır?
Çözüm. Hacim 10²·12/3 = 400 cm³'tür. Yan yüz yüksekliği, dik kenarları 12 ve 5 cm olan dik üçgenin hipotenüsüdür: √(144 + 25) = 13 cm. Yanal alan 4·(10·13/2) = 260 cm², yüzey alanı 260 + 100 = 360 cm²'dir.
Örnek 3. Yarıçapı 6 cm ve ana doğrusu 10 cm olan dik dairesel koninin yüksekliği, hacmi ve açınımındaki daire diliminin merkez açısı nedir?
Çözüm. Yükseklik √(10² − 6²) = 8 cm'dir. Hacim π·6²·8/3 = 96π cm³'tür. Açınımda dilimin yarıçapı ana doğru, yay uzunluğu taban çemberinin uzunluğudur; merkez açı 360°·6/10 = 216° bulunur.
Örnek 4. Taban yarıçapı 10 cm olan silindir biçimli bir kapta su vardır. Kaba yarıçapı 3 cm olan metal bir küre bırakılıyor; küre tamamen batıyor ve su taşmıyor. Su kaç santimetre yükselir?
Çözüm. Kürenin hacmi 4π·3³/3 = 36π cm³'tür. Su yüzeyinin alanı π·10² = 100π cm² olduğundan yükselme miktarı 36π/100π = 0,36 cm olur. Yükselen suyun hacmi, kürenin hacmine eşittir.
Sık yapılan hatalar
- Piramit ve koninin hacminde üçe bölmeyi unutmak.
- Yanal alan ile yüzey alanını karıştırmak; yüzey alanına tabanlar da eklenir.
- Koninin ana doğrusu ile yüksekliğini karıştırmak; ana doğru tepe noktasını taban çemberine birleştirir.
- Kürenin yüzey alanını πr² sanmak; doğrusu 4πr²'dir.
- Su yükselmesinde cismin hacmini kabın hacmine bölmek; cismin hacmi su yüzeyinin alanına bölünür.
- Prizma ve silindirde V = taban alanı·yükseklik; piramit ve konide bunun üçte biri.
- Küp: V = a³, alan 6a², cisim köşegeni a√3.
- Silindir: yanal alan 2πrh; koni: yanal alan πrℓ ve ℓ² = r² + h².
- Küre: alan 4πr², hacim 4πr³/3.
- Batan cismin hacmi = su yüzeyinin alanı·yükselme; aktarmada hacim korunur.