Konu anlatımı
Bir kutu, bir çadır ya da bir kurşun kalem gövdesi prizma biçimindedir. Bu alt başlıkta dik prizmanın elemanlarını, açınımını, yüzey alanını ve hacmini göreceksin. Bu konuda tabanı üçgen, dörtgen ya da düzgün altıgen olan dik prizmalar ele alınır.
Tanım ve elemanlar
Tabanları eş ve paralel iki çokgen, yan yüzleri ise tabanlara dik dikdörtgenler olan cisme dik prizma denir. İki tabanın karşılıklı köşelerini birleştiren kenarlara yan ayrıt denir; dik prizmada yan ayrıtlar yüksekliğe eşittir. Prizma tabanının biçimine göre adlandırılır: üçgen dik prizma, kare dik prizma, düzgün altıgen dik prizma gibi.
Açınım ve alan
Dik prizmanın yan yüzleri açılıp düz bir yüzeye serildiğinde, bir kenarı taban çevresi, öbür kenarı yükseklik olan bir dikdörtgen elde edilir. Bu yüzden yanal alan taban çevresi ile yüksekliğin çarpımıdır: Ç·h. Yüzey alanı, yanal alana iki taban alanı eklenerek bulunur: Ç·h + 2A.
Hacim
Dik prizmanın hacmi taban alanı ile yüksekliğin çarpımıdır: V = A·h. Prizmayı, tabanıyla aynı biçimde ve 1 birim kalınlığında katmanların üst üste konmasıyla oluşmuş gibi düşünürsen bunu görebilirsin. Taban ayrıtı a olan düzgün altıgen dik prizmada taban altı eşkenar üçgenden oluşur ve taban alanı 6·a²√3/4 = 3a²√3/2 olur.
Çözümlü örnekler
Örnek 1. Tabanı dik kenarları 6 cm ve 8 cm olan bir dik üçgen olan dik prizmanın yüksekliği 10 cm'dir. Prizmanın hacmi ve yüzey alanı kaçtır?
Çözüm. Tabanın hipotenüsü 10 cm, alanı 6·8/2 = 24 cm², çevresi 6 + 8 + 10 = 24 cm'dir. Hacim taban alanı ile yüksekliğin çarpımıdır: 24·10 = 240 cm³. Yanal alan 24·10 = 240 cm², yüzey alanı 240 + 2·24 = 288 cm²'dir.
Örnek 2. Taban ayrıtı 4 cm ve yüksekliği 10 cm olan düzgün altıgen dik prizmanın hacmi ve yanal alanı kaçtır?
Çözüm. Düzgün altıgen taban, kenarı 4 cm olan altı eşkenar üçgenden oluşur; taban alanı 6·16√3/4 = 24√3 cm²'dir. Hacim 24√3·10 = 240√3 cm³'tür. Taban çevresi 6·4 = 24 cm olduğundan yanal alan 24·10 = 240 cm²'dir.
Sık yapılan hatalar
- Yanal alanı bulurken yalnızca bir yan yüzün alanını almak.
- Yüzey alanında iki tabandan birini unutmak.
- Hacmi taban çevresi ile yüksekliğin çarpımı sanmak; hacim taban alanı ile yüksekliğin çarpımıdır.
- Dik prizmada hacim = taban alanı·yükseklik.
- Yanal alan = taban çevresi·yükseklik; yüzey alanı = yanal alan + 2·taban alanı.
- Düzgün altıgen taban altı eşkenar üçgenden oluşur ve alanı 3a²√3/2'dir.