Konu anlatımı
Piramit, tabanındaki çokgenin köşelerinin bir tepe noktasına birleştirilmesiyle oluşan cisimdir. Bu alt başlıkta dik piramidin elemanlarını, uzunluklar arasındaki dik üçgenleri, yüzey alanını ve hacmini göreceksin. Bu konuda tabanı üçgen, kare, dikdörtgen ya da düzgün altıgen olan dik piramitler ele alınır.
Elemanlar
Tepe noktasından taban düzlemine inen dikmenin uzunluğu piramidin yüksekliğidir; dik piramitte bu dikme tabanın merkezine iner. Düzgün tabanlı dik piramitte yan yüzler eş ikizkenar üçgenlerdir. Bir yan yüzün tepe noktasından taban kenarına inen yüksekliğine yan yüz yüksekliği, tepe noktasını taban köşelerine birleştiren kenarlara yan ayrıt denir.
Uzunluklar arasındaki dik üçgenler
Taban ayrıtı a olan kare dik piramitte yükseklik h, yan yüz yüksekliği k ve yan ayrıt ℓ olsun. Tepe noktası, tabanın merkezi ve bir taban kenarının orta noktası bir dik üçgen oluşturur: k² = h² + (a/2)². Tepe noktası, tabanın merkezi ve bir taban köşesi de bir dik üçgen oluşturur; merkezin köşeye uzaklığı a√2/2 olduğundan ℓ² = h² + (a√2/2)² olur.
Alan ve hacim
Piramidin yanal alanı yan yüzlerin alanları toplamıdır; kare dik piramitte 4·(a·k/2) = 2ak'dir. Yüzey alanı yanal alana taban alanı eklenerek bulunur. Hacim, aynı taban ve yükseklikli prizmanın hacminin üçte biridir: V = A·h/3. Bir küp, merkezi her yüzün köşelerine birleştirilerek 6 eş kare piramide ayrılabilir; her birinin hacmi a²·(a/2)/3 = a³/6'dır ve bu, üçte bir çarpanının nereden geldiğini gösterir.
Çözümlü örnekler
Örnek 1. Taban ayrıtı 6 cm ve yüksekliği 4 cm olan kare dik piramidin yan yüz yüksekliği, yüzey alanı ve hacmi kaçtır?
Çözüm. Tepe noktası, tabanın merkezi ve bir taban kenarının orta noktası dik kenarları 4 ve 3 cm olan bir dik üçgen oluşturur; yan yüz yüksekliği 5 cm'dir. Yanal alan 4·(6·5/2) = 60 cm², yüzey alanı 60 + 36 = 96 cm²'dir. Hacim 36·4/3 = 48 cm³'tür.
Örnek 2. Taban ayrıtı 4 cm ve yüksekliği 6 cm olan düzgün altıgen dik piramidin hacmi ve yan ayrıtı kaçtır?
Çözüm. Düzgün altıgen taban, kenarı 4 cm olan altı eşkenar üçgenden oluşur; taban alanı 6·16√3/4 = 24√3 cm²'dir. Hacim 24√3·6/3 = 48√3 cm³'tür. Düzgün altıgende merkezin köşelere uzaklığı kenara eşit olduğu için yan ayrıt √(6² + 4²) = √52 = 2√13 cm bulunur.
Örnek 3. Bütün ayrıtları 6 cm olan kare dik piramidin yüksekliği ve hacmi kaçtır?
Çözüm. Yan ayrıt 6 cm, tabanın merkezinin bir köşeye uzaklığı karenin köşegeninin yarısı olan 6√2/2 = 3√2 cm'dir. Yükseklik √(6² − (3√2)²) = √18 = 3√2 cm bulunur. Hacim 6²·3√2/3 = 36√2 cm³'tür.
Sık yapılan hatalar
- Piramidin hacminde üçe bölmeyi unutmak.
- Yan yüz yüksekliği ile piramidin yüksekliğini karıştırmak.
- Yan ayrıt hesabında merkezin kenara uzaklığını kullanmak; burada merkezin köşeye uzaklığı gerekir.
- Piramidin hacmi = taban alanı·yükseklik/3.
- Kare dik piramitte k² = h² + (a/2)² ve ℓ² = h² + (a√2/2)².
- Yüzey alanı = yan yüzlerin alanları + taban alanı.