Konu anlatımı
Dikdörtgenler prizması ve küp, katı cisim sorularında en sık karşılaşılan cisimlerdir. Bu alt başlıkta bu cisimlerin hacmini, yüzey alanını, köşegenlerini ve ayrıtlar değiştiğinde ne olduğunu göreceksin.
Dikdörtgenler prizması
Bütün yüzleri dikdörtgen olan dik prizmaya dikdörtgenler prizması denir. Ayrıtları a, b ve c ise hacim a·b·c, yüzey alanı 2·(ab + bc + ac) olur; karşılıklı yüzler eş olduğu için her yüzün alanı iki kez sayılır. Bir yüzün köşegeni √(a² + b²) olur; cisim köşegeni, bu yüz köşegeni ile c ayrıtının oluşturduğu dik üçgenden √(a² + b² + c²) olarak bulunur.
Küp
Bütün ayrıtları eş olan dikdörtgenler prizmasına küp denir. Ayrıtı a olan küpün hacmi a³, yüzey alanı 6a², yüz köşegeni a√2 ve cisim köşegeni a√3'tür. Ayrıt k katına çıkınca yüzey alanı k², hacim k³ katına çıkar: ayrıtı iki katına çıkan küpün hacmi sekiz katına çıkar.
Küçük küplere ayırma
Ayrıtı n birim olan bir küp, ayrıtı 1 birim olan n³ küçük küpe ayrılır. Büyük küpün dış yüzeyi boyanıp sonra küçük küplere ayrılırsa köşelerdeki 8 küpün üç yüzü, ayrıtlar boyunca köşeler dışında kalan 12·(n − 2) küpün iki yüzü, yüzlerin ortasındaki 6·(n − 2)² küpün bir yüzü boyalıdır. İçeride kalan (n − 2)³ küpün hiçbir yüzü boyanmamıştır.
Çözümlü örnekler
Örnek 1. Ayrıtları 2 cm, 3 cm ve 6 cm olan dikdörtgenler prizmasının hacmi, yüzey alanı ve cisim köşegeni kaçtır?
Çözüm. Hacim 2·3·6 = 36 cm³'tür. Yüzey alanı 2·(2·3 + 3·6 + 2·6) = 2·36 = 72 cm²'dir. Cisim köşegeni √(2² + 3² + 6²) = √49 = 7 cm'dir. Hacim ile yüzey alanının farklı birimlerle ölçüldüğüne dikkat et.
Örnek 2. Yüzey alanı 150 cm² olan bir küpün hacmi ve cisim köşegeni kaçtır?
Çözüm. 6a² = 150 eşitliğinden a² = 25 ve a = 5 cm bulunur. Hacim 5³ = 125 cm³'tür. Cisim köşegeni a√3 = 5√3 cm'dir.
Örnek 3. Ayrıtı 4 cm olan bir küpün bütün dış yüzeyi boyanıp ayrıtı 1 cm olan küplere ayrılıyor. Kaç küçük küpün tam olarak iki yüzü boyalıdır? Hiç boyanmamış kaç küp vardır?
Çözüm. Küp 4³ = 64 küçük küpe ayrılır. Tam iki yüzü boyalı küpler, köşeler dışında ayrıtlar boyunca dizilenlerdir: her ayrıtta 4 − 2 = 2 tane, 12 ayrıtta 24 tane vardır. Hiç boyanmamış küpler içteki 2·2·2 = 8 küptür. Kontrol: 8 köşe küpü, 24 ayrıt küpü, 6·4 = 24 yüz ortası küpü ve 8 iç küp toplam 64 eder.
Sık yapılan hatalar
- Yüzey alanında her yüzü bir kez saymak; karşılıklı yüzler eş olduğu için her alan iki kez sayılır.
- Cisim köşegenini yüz köşegeniyle karıştırmak.
- Ayrıt iki katına çıkınca hacmin de iki katına çıktığını sanmak; hacim sekiz katına çıkar.
- Dikdörtgenler prizması: hacim abc, yüzey alanı 2·(ab + bc + ac).
- Küp: hacim a³, yüzey alanı 6a², cisim köşegeni a√3.
- Ayrıt k katına çıkarsa alan k², hacim k³ katına çıkar.