Konu anlatımı
Top, misket ve gezegenler küre biçimindedir. Bu alt başlıkta kürenin yüzey alanını ve hacmini, yarım küreyi ve kürenin küp ve silindirle birlikte kullanıldığı soruları göreceksin.
Yüzey alanı ve hacim
Uzayda bir merkeze uzaklığı r olan noktaların oluşturduğu yüzeye küre yüzeyi, bu yüzeyin sınırladığı cisme küre denir. Yarıçapı r olan kürenin yüzey alanı 4πr², hacmi 4πr³/3'tür. Yüzey alanı, kürenin merkezinden geçen büyük dairenin alanının dört katıdır. Yarıçapı 3 cm olan kürenin yüzey alanı 36π cm², hacmi de 36π cm³'tür; sayılar aynı, birimler farklıdır.
Yarım küre
Bir küre, merkezinden geçen bir düzlemle iki yarım küreye ayrılır. Yarım kürenin hacmi 2πr³/3'tür. Yarım kürenin yüzey alanı, eğri yüzeyin alanı olan 2πr² ile düz yüzeydeki dairenin alanı olan πr²'nin toplamı, yani 3πr²'dir.
Küp ve küre
Bir küpün içine yerleştirilebilecek en büyük küre küpün bütün yüzlerine değer ve çapı küpün ayrıtına eşittir: r = a/2. Bir küpün bütün köşeleri bir küre yüzeyi üzerindeyse kürenin çapı küpün cisim köşegenine eşittir: r = a√3/2. Kürenin yarıçapı k katına çıkınca yüzey alanı k², hacmi k³ katına çıkar.
Çözümlü örnekler
Örnek 1. Ayrıtı 6 cm olan bir küpün içine yerleştirilebilecek en büyük kürenin hacmi kaçtır? Küpün içinde, kürenin dışında kalan hacim kaçtır?
Çözüm. En büyük küre küpün bütün yüzlerine değer; çapı 6 cm, yarıçapı 3 cm'dir. Kürenin hacmi 4π·27/3 = 36π cm³'tür. Küpün hacmi 216 cm³ olduğundan kürenin dışında kalan hacim 216 − 36π cm³'tür; π için 3,14 alınırsa bu yaklaşık 102,96 cm³ eder.
Örnek 2. Hacmi 288π cm³ olan bir kürenin yüzey alanı kaç cm²'dir?
Çözüm. 4πr³/3 = 288π eşitliğinden r³ = 216 ve r = 6 cm bulunur. Yüzey alanı 4π·6² = 144π cm²'dir.
Örnek 3. Ayrıtı 2 cm olan bir küpün bütün köşeleri bir küre yüzeyi üzerindedir. Kürenin yarıçapı ve yüzey alanı kaçtır?
Çözüm. Kürenin çapı küpün cisim köşegenine eşittir: 2√3 cm; yarıçap √3 cm'dir. Yüzey alanı 4π·(√3)² = 12π cm²'dir.
Sık yapılan hatalar
- Kürenin yüzey alanını πr² ya da 2πr² sanmak; doğrusu 4πr²'dir.
- Küpün içindeki küre ile küpün köşelerinden geçen küreyi karıştırmak.
- Yarım kürenin yüzey alanında düz yüzeyi unutmak.
- Kürenin yüzey alanı 4πr², hacmi 4πr³/3'tür.
- Küpün içindeki en büyük kürede r = a/2, köşelerden geçen kürede r = a√3/2.
- Yarım kürenin yüzey alanı 3πr²'dir.