Konu anlatımı
Dondurma külahı ve trafik konisi dik dairesel koni biçimindedir. Bu alt başlıkta koninin elemanlarını, açınımını, yanal ve yüzey alanını, hacmini ve bir dik üçgenin döndürülmesiyle oluşan cisimleri göreceksin.
Elemanlar
Tabanı daire olan ve tepe noktasından tabana inen dikmenin ayağı tabanın merkezi olan cisme dik dairesel koni denir. Tepe noktasını taban çemberi üzerindeki bir noktaya birleştiren doğru parçasına ana doğru denir ve uzunluğu ℓ ile gösterilir. Yükseklik h, yarıçap r ve ana doğru bir dik üçgen oluşturur: ℓ² = r² + h².
Açınım ve yanal alan
Koninin yan yüzü açıldığında yarıçapı ℓ olan bir daire dilimi elde edilir. Dilimin yay uzunluğu taban çemberinin uzunluğuna eşittir: 2πℓ·α/360° = 2πr, yani dilimin merkez açısı α = 360°·r/ℓ olur. Yanal alan bu dilimin alanıdır: yay uzunluğu·ℓ/2 = 2πr·ℓ/2 = πrℓ. Yüzey alanı, yanal alana taban alanı eklenerek πrℓ + πr² bulunur.
Hacim ve dönen dik üçgen
Koninin hacmi, aynı taban ve yükseklikli silindirin hacminin üçte biridir: V = πr²h/3. Bu, piramidin prizmayla ilişkisinin aynısıdır. Bir dik üçgen dik kenarlarından biri etrafında döndürülürse bir koni oluşur: dönme ekseni olan dik kenar yükseklik, öbür dik kenar yarıçap, hipotenüs ise ana doğru olur.
Çözümlü örnekler
Örnek 1. Taban yarıçapı 5 cm ve yüksekliği 12 cm olan dik dairesel koninin ana doğrusu, hacmi ve yüzey alanı kaçtır?
Çözüm. Ana doğru ℓ = √(5² + 12²) = 13 cm'dir. Hacim π·25·12/3 = 100π cm³'tür. Yanal alan πrℓ = π·5·13 = 65π cm², yüzey alanı 65π + 25π = 90π cm²'dir.
Örnek 2. Bir koninin yan yüzünün açınımı, yarıçapı 12 cm ve merkez açısı 120° olan bir daire dilimidir. Koninin taban yarıçapı, yüksekliği ve hacmi kaçtır?
Çözüm. Dilimin yarıçapı koninin ana doğrusudur: ℓ = 12 cm. Dilimin yay uzunluğu 2π·12·120/360 = 8π cm'dir ve taban çemberinin uzunluğuna eşittir: 2πr = 8π, yani r = 4 cm. Yükseklik √(12² − 4²) = √128 = 8√2 cm'dir. Hacim π·4²·8√2/3 = 128√2π/3 cm³'tür.
Örnek 3. Dik kenarları 3 cm ve 4 cm olan bir dik üçgen, hipotenüsü etrafında 360° döndürülüyor. Oluşan cismin hacmi kaç cm³'tür?
Çözüm. Hipotenüs 5 cm'dir. Dönme sırasında dik açının köşesi bir çember çizer; bu çemberin yarıçapı hipotenüse ait yükseklik olan 3·4/5 = 12/5 cm'dir. Oluşan cisim tabanları ortak iki koniden oluşur ve yüksekliklerinin toplamı hipotenüse, yani 5 cm'ye eşittir. Toplam hacim π·(12/5)²·5/3 = 48π/5 cm³'tür.
Sık yapılan hatalar
- Ana doğru ile yüksekliği karıştırmak; ana doğru tepe noktasını taban çemberine birleştirir.
- Koninin hacminde üçe bölmeyi unutmak.
- Açınımda dilimin yarıçapını koninin taban yarıçapı sanmak; dilimin yarıçapı ana doğrudur.
- ℓ² = r² + h².
- Koninin hacmi πr²h/3, yanal alanı πrℓ'dir.
- Açınımdaki dilimin merkez açısı 360°·r/ℓ'dir.