Konu anlatımı
Bir bardağa buz attığında su yükselir; bir sürahiden bardaklara su doldurduğunda sürahideki su azalır. Bu günlük durumların hepsi tek bir fikre dayanır: hacim korunur. Bu alt başlıkta bu fikirle kurulan katı cisim sorularını göreceksin.
Batan cisim ve yükselme
Tabanı düz ve yan yüzleri dik olan bir kaba tamamen batan bir cisim konursa, su taşmadığı sürece suyun yükselme miktarı ile su yüzeyinin alanının çarpımı cismin hacmine eşittir. Taban alanı 100 cm² olan bir kaba hacmi 250 cm³ olan bir taş bırakılırsa su 2,5 cm yükselir. Cisim kabın tabanına oturup suyun üstüne taşıyorsa, yalnızca su seviyesinin altında kalan kısmı suyu yükseltir.
Kaplar arasında aktarma
Bir kaptaki sıvı başka bir kaba aktarıldığında sıvının hacmi değişmez. İki kabın hacim bağıntılarını yazıp eşitlersin: silindirdeki suyun hacmi πr²h, koni biçimli bir bardağın hacmi πR²H/3 ise silindirdeki suyla dolabilecek bardak sayısı bu iki hacmin oranıdır. Küre biçimli bir kaptaki su silindire boşaltılırsa 4πr³/3 = πR²h eşitliğinden yeni su yüksekliği bulunur.
Dikkat edilecekler
Önce birimleri eşitle: 1 L = 1 dm³ = 1000 cm³'tür. Su yüksekliği sorulduğunda kabın biçimine bak: silindir ve dik prizma biçimli kaplarda su yüksekliği su hacmiyle doğru orantılıdır; koni biçimli kaplarda ise doğru orantılı değildir. Son olarak suyun kaptan taşıp taşmadığını ve bırakılan cismin tamamen batıp batmadığını kontrol et.
Çözümlü örnekler
Örnek 1. Taban ayrıtları 20 cm ve 10 cm olan dikdörtgenler prizması biçimindeki bir kapta 6 cm yüksekliğinde su vardır. Kabın tabanına ayrıtı 4 cm olan 5 küp yan yana bırakılıyor. Su kaç santimetre yükselir?
Çözüm. Küplerin toplam hacmi 5·4³ = 320 cm³'tür. Su yüzeyinin alanı 20·10 = 200 cm² olduğundan su 320/200 = 1,6 cm yükselir ve yeni su yüksekliği 7,6 cm olur. 7,6 cm küplerin 4 cm'lik yüksekliğinden büyük olduğu için küpler tamamen batmıştır ve hesap doğrudur.
Örnek 2. Taban yarıçapı 6 cm ve yüksekliği 20 cm olan silindir biçimli bir sürahi tamamen suyla doludur. Bu su, taban yarıçapı 3 cm ve yüksekliği 8 cm olan koni biçimli bardaklara doldurulursa kaç bardak tamamen dolar?
Çözüm. Sürahideki suyun hacmi π·6²·20 = 720π cm³'tür. Bir bardağın hacmi π·3²·8/3 = 24π cm³'tür. Su hacmi korunduğu için 720π/24π = 30 bardak tamamen dolar.
Örnek 3. İç yarıçapı 6 cm olan küre biçimli bir kap tamamen suyla doludur. Bu su, taban yarıçapı 4 cm olan silindir biçimli bir kaba boşaltılırsa silindirdeki su yüksekliği kaç santimetre olur?
Çözüm. Küre biçimli kaptaki suyun hacmi 4π·6³/3 = 288π cm³'tür. Silindirde su yüksekliği h ise π·4²·h = 288π, yani 16h = 288 ve h = 18 cm bulunur.
Sık yapılan hatalar
- Yükselme miktarını bulurken cismin hacmini kabın hacmine bölmek; cismin hacmi su yüzeyinin alanına bölünür.
- Litre ile santimetreküp arasındaki dönüşümü yanlış yapmak: 1 L = 1000 cm³.
- Koni biçimli kaplarda su yüksekliğinin su hacmiyle doğru orantılı olduğunu sanmak.
- Batan cismin hacmi = su yüzeyinin alanı·yükselme miktarı.
- Aktarmada sıvının hacmi korunur.
- 1 L = 1 dm³ = 1000 cm³.