Konu anlatımı
Konserve kutusu, su borusu ve bardak gibi birçok nesne silindir biçimindedir. Bu alt başlıkta dik dairesel silindirin açınımını, yanal ve yüzey alanını, hacmini ve eksen kesitini göreceksin.
Tanım ve açınım
Tabanları eş ve paralel iki daire olan ve tabanların merkezlerini birleştiren ekseni tabanlara dik olan cisme dik dairesel silindir denir. Yan yüz açıldığında bir kenarı taban çemberinin uzunluğu olan 2πr, öbür kenarı yükseklik h olan bir dikdörtgen elde edilir. Bu yüzden yanal alan 2πrh, yüzey alanı 2πrh + 2πr² olur.
Hacim
Silindir, tabanı daire olan bir prizma gibi düşünülür: hacim taban alanı ile yüksekliğin çarpımıdır, V = πr²h. Yarıçapı 3 cm, yüksekliği 10 cm olan silindirin hacmi 90π cm³'tür. Yarıçap iki katına çıkarsa hacim dört katına, yükseklik iki katına çıkarsa hacim iki katına çıkar.
Eksen kesiti
Silindir ekseninden geçen bir düzlemle kesilirse kenarları 2r ve h olan bir dikdörtgen elde edilir; buna eksen kesiti denir. Eksen kesiti kare olan silindirde h = 2r'dir. Böyle bir silindirin içine yarıçapı r olan bir küre yerleştirilirse küre yan yüze ve iki tabana değer.
Çözümlü örnekler
Örnek 1. Yanal alanı 48π cm² ve yüksekliği 6 cm olan dik dairesel silindirin hacmi ve yüzey alanı kaçtır?
Çözüm. Yanal alan 2πrh = 2πr·6 = 48π eşitliğinden r = 4 cm bulunur. Hacim π·4²·6 = 96π cm³'tür. Yüzey alanı, yanal alana iki taban alanı eklenerek 48π + 2·16π = 80π cm² olur.
Örnek 2. Eksen kesiti kenarı 8 cm olan bir kare olan silindirin içine, yan yüze ve iki tabana değen bir küre yerleştiriliyor. Silindirin hacminin kürenin hacmine oranı nedir? Silindirin içinde, kürenin dışında kalan hacim kaç cm³'tür?
Çözüm. Silindirin yarıçapı 4 cm ve yüksekliği 8 cm'dir; hacmi π·16·8 = 128π cm³'tür. Kürenin yarıçapı da 4 cm'dir ve hacmi 4π·4³/3 = 256π/3 cm³'tür. Hacimlerin oranı 128π : 256π/3 = 3 : 2 olur; kürenin dışında kalan hacim 128π − 256π/3 = 128π/3 cm³'tür.
Sık yapılan hatalar
- Yanal alanda taban çemberinin uzunluğu yerine taban alanını kullanmak.
- Yüzey alanında iki tabandan birini unutmak.
- Çap verildiğinde yarıçapa geçmeden hacmi hesaplamak.
- Silindirin hacmi πr²h'dir.
- Yanal alan 2πrh, yüzey alanı 2πrh + 2πr².
- Eksen kesiti kenarları 2r ve h olan bir dikdörtgendir.