Konu anlatımı
Bir üçgende kenarlar ile bu kenarların karşısındaki açılar birbirine bağlıdır: uzun kenar büyük açının, kısa kenar küçük açının karşısında bulunur. Ayrıca her üç doğru parçası bir üçgen oluşturmaz; kenar uzunlukları üçgen eşitsizliği denen koşulu sağlamalıdır. Bu iki fikir, hiç hesap yapmadan uzunlukları sıralamanı ve bir kenarın hangi aralıkta olduğunu bulmanı sağlar.
Bu sayfada bir üçgende ve ortak kenarlı üçgenlerde açı-kenar sıralamasını, üçgen eşitsizliğini, kenarların alabileceği tam sayı değerlerini ve iki bilgiyi birlikte kullanan soruları göreceksin. Her başlığın ayrıntılı anlatımı ve ek örnekleri alt başlıklarda yer alıyor.
Kenar adları ve gösterim
ABC üçgeninde A köşesinin karşısındaki kenar [BC] kenarıdır ve uzunluğu a ile gösterilir; benzer biçimde b = |AC| ve c = |AB| olur. Her kenar adını karşısındaki köşeden alır. Açı-kenar sorularında ilk iş, her açıyı kollarıyla değil karşısındaki kenarla eşleştirmektir. A açısının kolları [AB] ve [AC] kenarlarıdır, karşısındaki kenar ise [BC] kenarıdır.
Büyük kenar karşısında büyük açı
Bir üçgende uzun kenarın karşısındaki açı büyük, kısa kenarın karşısındaki açı küçüktür; tersi de doğrudur. m(A) > m(B) ise a > b, a > b ise m(A) > m(B) olur. Eşit kenarların karşısındaki açılar da eşittir. Açıları 50°, 60° ve 70° olan bir üçgende en uzun kenar 70°'lik açının karşısındaki kenardır. Bir üçgende dik ya da geniş açı varsa en uzun kenar o açının karşısındadır, çünkü öbür iki açı ondan küçüktür.
Ortak kenarlı üçgenler
İki üçgen bir kenarı paylaşıyorsa sıralama her üçgende ayrı ayrı yapılır ve sonuçlar ortak kenar üzerinden birleştirilir. Açı-kenar bağıntısı yalnızca aynı üçgenin açıları ve kenarları arasında geçerlidir; iki farklı üçgenin açılarını karşılaştırıp kenarlar hakkında sonuç çıkaramazsın. Ortak kenar bir üçgende en uzun, öbüründe en kısa kenarsa bütün parçalar tek bir zincirde sıralanır.
Üçgen eşitsizliği
Bir üçgende her kenar, öbür iki kenarın toplamından küçük, farkının mutlak değerinden büyüktür: |b − c| < a < b + c. Uzunlukları 3, 4 ve 8 olan doğru parçalarıyla üçgen çizilemez, çünkü 8 > 3 + 4'tür. Üç uzunluğun üçgen oluşturup oluşturmadığını anlamak için en uzun parçanın öbür ikisinin toplamından küçük olup olmadığına bakman yeterlidir.
Tam sayı değerleri ve birlikte kullanım
İki kenarı 5 ve 9 olan üçgende üçüncü kenar 4 < x < 14 aralığındadır ve 5'ten 13'e kadar 9 tam sayı değeri alabilir. Bir açı sıralaması da verilmişse aralık daralır: m(A) > m(B) > m(C) bilgisi kenarların a > b > c sırasında olduğunu söyler ve bu bilgi üçgen eşitsizliğiyle birlikte kullanılır. İki koşulun ortak kısmı cevaptır.
Ölçülemeyen uzunlukları sınırlamak
Üçgen eşitsizliği, uzunluğu doğrudan hesaplanamayan doğru parçalarına da sınır koyar. Üçgenin içindeki bir P noktası için |PB| + |PC|, |BC| ile |AB| + |AC| arasındadır. Bir kenarortayın uzunluğu da, kenarortayı iki katına uzatarak kurulan üçgende eşitsizlik yazılarak sınırlanır. Bu sınırlar bir aralık verir; kenarortayın tam uzunluğu formülle hesaplanmaz.
Çözümlü örnekler
Örnek 1. ABC üçgeninde m(A) = 70° ve m(B) = 45°'dir. Üçgenin kenarlarını uzunluklarına göre sıralayınız.
Çözüm. Önce üçüncü açıyı buluruz: m(C) = 180° − 70° − 45° = 65°. Açılar m(A) > m(C) > m(B) sırasındadır. Büyük açının karşısında büyük kenar bulunduğu için a > c > b, yani |BC| > |AB| > |AC| olur.
Örnek 2. Kenar uzunlukları 6 cm, 10 cm ve x cm olan bir üçgende x'in alabileceği kaç tam sayı değeri vardır?
Çözüm. Üçüncü kenar öbür iki kenarın farkından büyük, toplamından küçüktür: 10 − 6 < x < 10 + 6, yani 4 < x < 16. Sınırlar dahil değildir. Tam sayı değerleri 5'ten 15'e kadardır ve sayıları 15 − 5 + 1 = 11'dir.
Örnek 3. ABC üçgeninde |AB| = 4 cm, |BC| = 9 cm ve |AC| = x cm'dir. Açılar arasında m(C) < m(A) < m(B) sıralaması olduğuna göre x'in alabileceği tam sayı değerleri nelerdir?
Çözüm. Açı sıralaması karşılarındaki kenarları c < a < b, yani 4 < 9 < x biçiminde sıralar; buradan x > 9 bulunur. Üçgen eşitsizliğinden 9 − 4 < x < 9 + 4, yani 5 < x < 13'tür. Ortak aralık 9 < x < 13 olduğundan x'in tam sayı değerleri 10, 11 ve 12'dir.
Örnek 4. A ve C noktaları BD doğrusunun farklı taraflarında olmak üzere ABD ve CBD üçgenleri [BD] kenarını ortak kullanıyor. m(BAD) = 80°, m(ABD) = 45°, m(CBD) = 70° ve m(BDC) = 60°'dir. Beş doğru parçasından en uzunu ve en kısası hangisidir?
Çözüm. ABD üçgeninde m(ADB) = 55°'dir; açılar 80° > 55° > 45° olduğundan |BD| > |AB| > |AD| olur. CBD üçgeninde m(BCD) = 50°'dir; açılar 70° > 60° > 50° olduğundan |CD| > |BC| > |BD| olur. Ortak kenar [BD] iki sıralamayı birleştirir: |CD| > |BC| > |BD| > |AB| > |AD|. En uzun parça [CD], en kısa parça [AD] doğru parçasıdır.
Sık yapılan hatalar
- Açıyı, karşısındaki kenar yerine kollarından biriyle eşleştirmek.
- Üçgen eşitsizliğinde sınırları dahil etmek: 4 < x < 14 için 4 ve 14 değerlerini de saymak.
- Üç uzunluğun üçgen oluşturduğunu en kısa parçaya bakarak kontrol etmek; en uzun parça öbür ikisinin toplamından küçük olmalıdır.
- İki farklı üçgenin açılarını karşılaştırıp kenarlar hakkında sonuç çıkarmak.
- Açı sıralaması verildiğinde bunu kenar sıralamasına çevirmeden yalnızca üçgen eşitsizliğini kullanmak.
- a, A açısının karşısındaki kenardır; büyük açının karşısında büyük kenar bulunur.
- Eş açıların karşısındaki kenarlar eştir.
- |b − c| < a < b + c; sınırlar dahil değildir.
- Dik ya da geniş açının karşısındaki kenar en uzun kenardır.
- Ortak kenarlı üçgenlerde sıralamaları ortak kenar üzerinden birleştir.