Konu anlatımı
Her üç doğru parçasıyla bir üçgen çizilemez. Uzunlukları 2 cm, 3 cm ve 7 cm olan çubukların uçlarını birleştirmeye çalışırsan 2 cm ve 3 cm'lik çubukların 7 cm'lik çubuğun iki ucuna yetişmediğini görürsün. Bu alt başlıkta hangi uzunlukların üçgen oluşturduğunu ve bir kenarın hangi aralıkta olabileceğini göreceksin.
Eşitsizlik
Bir üçgende her kenar öbür iki kenarın toplamından küçüktür: a < b + c, b < a + c ve c < a + b. İki noktayı birleştiren en kısa yol doğru parçası olduğu için B'den C'ye doğrudan gitmek, A'ya uğrayarak gitmekten kısadır; eşitsizliğin anlamı budur. Bu üç eşitsizlik tek satırda yazılabilir: |b − c| < a < b + c. Yani bir kenar, öbür ikisinin farkından büyük, toplamından küçüktür.
En uzun kenar testi
Üç uzunluğun üçgen oluşturup oluşturmadığını anlamak için en uzun parçanın öbür ikisinin toplamından küçük olup olmadığına bakman yeterlidir; öbür iki eşitsizlik bu durumda kendiliğinden sağlanır. 4, 6 ve 9 bir üçgen oluşturur, çünkü 9 < 4 + 6'dır. 4, 6 ve 10 oluşturmaz: 10 = 4 + 6 olduğunda üç nokta aynı doğru üzerinde kalır ve üçgen oluşmaz.
Üçüncü kenarın aralığı
İki kenarı 5 cm ve 9 cm olan bir üçgende üçüncü kenar x için 9 − 5 < x < 9 + 5, yani 4 < x < 14 bulunur. Sınırlar dahil değildir. x tam sayıysa 5, 6, ..., 13 değerlerini alır; bu değerlerin sayısı 13 − 5 + 1 = 9'dur. Kenarlar cebirsel ifadelerle verilmişse her kenarın pozitif olması da ayrı bir koşuldur ve üç eşitsizliğin üçü de yazılmalıdır.
Çözümlü örnekler
Örnek 1. Uzunlukları 3x − 1, x + 4 ve 10 birim olan doğru parçaları bir üçgen oluşturuyor. x'in alabileceği tam sayı değerleri kaç tanedir?
Çözüm. Her kenar öbür iki kenarın toplamından küçük olmalıdır. 10 < (3x − 1) + (x + 4) eşitsizliğinden 4x > 7, yani x > 1,75 bulunur. 3x − 1 < (x + 4) + 10 eşitsizliğinden 2x < 15, yani x < 7,5 bulunur. Üçüncü eşitsizlik x + 4 < 3x + 9 ise x > −2,5 verir ve öbür koşulları daraltmaz. 1,75 < x < 7,5 aralığındaki tam sayılar 2, 3, 4, 5, 6 ve 7'dir; 6 değer vardır.
Örnek 2. Bir ABC üçgeninde |AB| = 8 cm ve |AC| = 3 cm'dir. |BC| tam sayı olduğuna göre üçgenin çevresi en az ve en çok kaç santimetredir?
Çözüm. Üçüncü kenar için 8 − 3 < |BC| < 8 + 3, yani 5 < |BC| < 11'dir. |BC| tam sayı olduğundan 6 ile 10 arasındaki değerleri alır. Çevre en az 8 + 3 + 6 = 17 cm, en çok 8 + 3 + 10 = 21 cm olur.
Sık yapılan hatalar
- Sınırları dahil etmek: 4 < x < 14 için 4 ve 14 değerlerini de saymak.
- Yalnızca toplam koşulunu yazıp fark koşulunu unutmak.
- Kenarlar cebirsel ifadeyken üç eşitsizlikten yalnızca birini yazmak.
- |b − c| < a < b + c; eşitlik durumunda üçgen oluşmaz.
- Üç uzunlukta en uzun parça öbür ikisinin toplamından küçük olmalıdır.
- Açık aralıktaki tam sayıları sayarken uçları dahil etme.