Konu anlatımı
Üçgen eşitsizliği yalnızca üçüncü kenarı bulmak için değil, uzunluğu doğrudan hesaplanamayan doğru parçalarını sınırlamak için de kullanılır. Bu alt başlıkta üçgenin içindeki bir noktanın iki köşeye uzaklıklarını, kenarortay uzunluğunun aralığını ve bir kenara çizilen doğru parçasının sınırını göreceksin.
Üçgenin içindeki nokta
P noktası ABC üçgeninin içindeyse |PB| + |PC| < |AB| + |AC| olur. BP doğrusunu [AC] kenarını K noktasında kesecek biçimde uzatırsan PKC üçgeninde |PC| < |PK| + |KC|, ABK üçgeninde |BK| < |AB| + |AK| yazılır ve iki eşitsizlik birleşince sonuç çıkar. Öte yandan PBC üçgeninde |PB| + |PC| > |BC| olur. Yani |PB| + |PC| toplamı |BC| ile |AB| + |AC| arasındadır.
Kenarortayın sınırları
[AD], ABC üçgeninin [BC] kenarına ait kenarortayı olsun. AD doğrusunu D'den öteye, |DE| = |AD| olacak biçimde uzatırsan ADB ve EDC üçgenleri K.A.K. kuralıyla eş olur ve |CE| = |AB| = c bulunur. ACE üçgeninin kenarları b, c ve 2·|AD| olduğundan |b − c| < 2·|AD| < b + c yazılır. Yani kenarortay uzunluğu, iki kenarın farkının yarısı ile toplamının yarısı arasındadır. Burada kenarortayın tam uzunluğu hesaplanmaz, yalnızca aralığı bulunur.
Kenar üzerindeki noktaya çizilen doğru parçası
D noktası [BC] kenarı üzerindeyse ADB ve ADC açılarından en az biri 90° ya da daha büyüktür. Bu açının bulunduğu üçgende en uzun kenar, bu açının karşısındaki [AB] ya da [AC] kenarıdır. Bu yüzden |AD|, |AB| ile |AC| uzunluklarından büyük olanından kısadır. Dik üçgende hipotenüs üzerindeki bir noktanın dik köşeye uzaklığı da bu yüzden uzun dik kenardan kısadır.
Çözümlü örnekler
Örnek 1. ABC üçgeninde |AB| = 7 cm, |AC| = 9 cm ve |BC| = 10 cm'dir. Üçgenin içindeki bir P noktası için |PB| + |PC| toplamı tam sayıdır. Bu toplam kaç farklı değer alabilir?
Çözüm. PBC üçgeninde üçgen eşitsizliğinden |PB| + |PC| > |BC| = 10 olur. P üçgenin içinde olduğundan |PB| + |PC| < |AB| + |AC| = 16'dır. Toplam 10 ile 16 arasındadır ve tam sayı değerleri 11, 12, 13, 14 ve 15'tir; 5 farklı değer vardır. P noktası A'ya yaklaştıkça toplam 16'ya, [BC] kenarına yaklaştıkça 10'a yaklaşır.
Örnek 2. ABC üçgeninde |AB| = 11 cm ve |AC| = 7 cm'dir. [BC] kenarına ait kenarortayın uzunluğu santimetre cinsinden tam sayı olduğuna göre kaç farklı değer alabilir?
Çözüm. Kenarortay uzunluğu iki kenarın farkının yarısı ile toplamının yarısı arasındadır: (11 − 7)/2 < |AD| < (11 + 7)/2, yani 2 < |AD| < 9'dur. Tam sayı değerleri 3, 4, 5, 6, 7 ve 8'dir; 6 farklı değer vardır. A açısı küçüldükçe kenarortay 9'a, büyüdükçe 2'ye yaklaşır.
Sık yapılan hatalar
- Kenarortayın sınırlarını yazarken iki katına uzatılan uzunluğu yarıya bölmeyi unutmak.
- Üçgen eşitsizliğini yanlış üçgende yazmak; üç uzunluğun aynı üçgenin kenarları olduğundan emin ol.
- Sınır değerlerini dahil etmek; bu eşitsizliklerin hepsi kesindir.
- Üçgenin içindeki P için |BC| < |PB| + |PC| < |AB| + |AC|.
- Kenarortay uzunluğu |b − c|/2 ile (b + c)/2 arasındadır.
- Ölçemediğin bir uzunluğu, onu içeren üçgenlerde eşitsizlik yazarak sınırla.