Konu anlatımı
Bazı sorularda hem açılar hem kenarlar hakkında bilgi verilir. Açı sıralaması kenarların sırasını, üçgen eşitsizliği ise kenarların aralığını verir. Bu alt başlıkta iki bilgiyi birleştirip daha dar bir aralık bulmayı göreceksin.
Sıralama aralığı daraltır
ABC üçgeninde |AB| = 7, |AC| = 12 ve |BC| = x olsun. Yalnızca üçgen eşitsizliği 5 < x < 19 aralığını verir. m(A) > m(B) bilgisi eklenirse karşılarındaki kenarlar için x > 12 olur ve aralık 12 < x < 19'a iner. Her yeni açı bilgisi, kenar aralığına yeni bir uç ekler; sonuç bütün koşulların ortak kısmıdır.
Ortanca açı ve ortanca kenar
m(A) > m(B) > m(C) ise b kenarı a ile c arasındadır: c < b < a. Ortanca açının karşısındaki kenar sorulduğunda bu iki eşitsizlik üçgen eşitsizliğiyle birlikte kullanılır. a = 12 ve c = 5 olan üçgende b için hem 5 < b < 12 hem de 7 < b < 17 sağlanmalıdır; ortak aralık 7 < b < 12'dir.
Dik ve geniş açı bilgisi
Bir açının dik ya da geniş olduğu biliniyorsa karşısındaki kenar en uzun kenardır. m(C) > 90° olan bir ABC üçgeninde |AB| hem |AC|'den hem |BC|'den büyüktür. Bu bilgi üçgen eşitsizliğiyle birlikte en uzun kenara bir alt sınır koyar; ancak tek başına kenarın tam değerini vermez.
Çözümlü örnekler
Örnek 1. ABC üçgeninde |AB| = 6 cm, |AC| = 10 cm ve |BC| = x cm'dir. m(A) üçgenin en büyük açısı olduğuna göre x'in alabileceği tam sayı değerleri kaç tanedir?
Çözüm. A en büyük açı olduğundan karşısındaki [BC] en uzun kenardır: x > 10. Üçgen eşitsizliğinden 10 − 6 < x < 10 + 6, yani 4 < x < 16'dır. İki koşulun ortak aralığı 10 < x < 16'dır ve tam sayı değerleri 11, 12, 13, 14 ve 15'tir; 5 değer vardır.
Örnek 2. ABC üçgeninde |BC| = 12 cm, |AB| = 5 cm'dir ve açılar arasında m(A) > m(B) > m(C) sıralaması vardır. |AC| tam sayı olduğuna göre alabileceği değerlerin toplamı kaçtır?
Çözüm. Açı sıralaması kenarları a > b > c, yani 12 > |AC| > 5 biçiminde sıralar. Üçgen eşitsizliğinden 12 − 5 < |AC| < 12 + 5, yani 7 < |AC| < 17 bulunur. Ortak aralık 7 < |AC| < 12'dir; tam sayı değerleri 8, 9, 10 ve 11'dir. Toplamları 38'dir.
Sık yapılan hatalar
- Açı bilgisini kenar sıralamasına çevirmeden yalnız üçgen eşitsizliğini kullanmak.
- İki koşulun birleşimini almak; doğru olan ortak kısımdır.
- Kesin sıralama verildiğinde eşit kenar durumunu da saymak.
- Açı sıralaması kenar sıralamasını verir; sıralamayı eşitsizlik olarak yaz.
- Üçgen eşitsizliğiyle bulduğun aralığın ortak kısmını al.
- Dik ya da geniş açının karşısındaki kenar en uzundur; bu bir alt sınırdır.