Konu anlatımı
Kenarların tam sayı olduğu sorularda üçgen eşitsizliği bir sayma problemine dönüşür. Bu alt başlıkta üçüncü kenarı saymayı, çevresi verilen üçgenlerde kenar seçeneklerini ve ikizkenar üçgenlerde dikkat edilmesi gereken noktaları göreceksin.
Üçüncü kenarı saymak
İki kenarı m ve n (m ≥ n) olan bir üçgende üçüncü kenar m − n < x < m + n aralığındadır. Bu açık aralıktaki tam sayıların sayısı (m + n − 1) − (m − n + 1) + 1 = 2n − 1'dir; yani sonuç yalnızca kısa kenara bağlıdır. Kenarları 7 ve 12 olan üçgende üçüncü kenar 6 ile 18 arasındaki tam sayı değerlerini alır; bunların sayısı 2·7 − 1 = 13'tür.
Çevresi verilen üçgenler
Çevre verildiğinde en uzun kenar çevrenin yarısından küçük olmalıdır: a < b + c ise 2a < a + b + c olur. Çevresi 12 olan ve kenarları tam sayı olan üçgenlerde en uzun kenar 6'dan küçüktür, yani en çok 5'tir. Kenarları küçükten büyüğe yazarak sayarsın: 2, 5, 5; 3, 4, 5 ve 4, 4, 4. Toplam 3 farklı üçgen vardır.
İkizkenar üçgenler
İkizkenar üçgende iki kenar eş olduğundan seçenekler azalır; ama hangi kenarın taban olduğu verilmemişse iki durumu da denemen gerekir. Kenarlarından ikisi 4 ve 9 olan ikizkenar üçgende eş kenarlar 4 olamaz, çünkü 4 + 4 < 9'dur. Kenarlar 9, 9 ve 4 olmalıdır ve çevre 22'dir.
Çözümlü örnekler
Örnek 1. Çevresi 15 cm olan ve kenar uzunlukları santimetre cinsinden tam sayı olan kaç farklı üçgen vardır?
Çözüm. Kenarlar a ≤ b ≤ c olsun. En uzun kenar çevrenin yarısından küçük olmalıdır: c < 7,5, yani c en çok 7'dir. c = 7 için 1, 7, 7; 2, 6, 7; 3, 5, 7 ve 4, 4, 7 üçlüleri; c = 6 için 3, 6, 6 ve 4, 5, 6 üçlüleri; c = 5 için 5, 5, 5 üçlüsü bulunur. c 5'ten küçük olursa üç kenarın toplamı en çok 12 olur ve 15'e ulaşamaz. Toplam 7 farklı üçgen vardır.
Örnek 2. ABC üçgeninde |AB| = 5 cm ve |AC| = 9 cm'dir. Üçgen ikizkenar olduğuna göre çevresi kaç santimetre olabilir?
Çözüm. Üçgen ikizkenar olduğu için |BC| ya 5 ya da 9 cm'dir. |BC| = 5 ise kenarlar 5, 5 ve 9 olur; 9 < 5 + 5 olduğundan üçgen oluşur ve çevre 19 cm'dir. |BC| = 9 ise kenarlar 5, 9 ve 9 olur ve çevre 23 cm'dir. İki durum da mümkündür; çevre 19 cm ya da 23 cm olabilir.
Sık yapılan hatalar
- Çevresi verilen sorularda aynı üçgeni kenarların sırasını değiştirerek birden çok kez saymak.
- İkizkenar üçgende iki durumdan birini denemeyi unutmak ya da üçgen eşitsizliğini kontrol etmemek.
- En uzun kenarın çevrenin yarısına eşit olabileceğini sanmak.
- Kenarları m ≥ n olan üçgende üçüncü kenar 2n − 1 farklı tam sayı değeri alır.
- En uzun kenar çevrenin yarısından küçüktür.
- Sayarken kenarları küçükten büyüğe yaz; her üçgeni bir kez say.