Konu anlatımı
Bir üçgenin açıları bilindiğinde, hiç ölçmeden kenarlarını sıralayabilirsin; kenarları bilindiğinde de açılarını. Bu alt başlıkta bu bağıntının ne söylediğini, neden doğru olduğunu ve sorularda nasıl kullanıldığını göreceksin.
Bağıntı
ABC üçgeninde a = |BC|, b = |AC| ve c = |AB| olsun. Bir üçgende büyük açının karşısında büyük kenar, küçük açının karşısında küçük kenar bulunur: m(A) > m(B) > m(C) ise a > b > c'dir. Tersi de doğrudur: a > b > c ise m(A) > m(B) > m(C) olur. Eşit açıların karşısındaki kenarlar da eşittir; iki açısı eşit olan üçgen ikizkenardır.
Neden doğru?
b > c olsun ve [AC] üzerinde |AD| = c olacak biçimde bir D noktası alalım. ABD üçgeni ikizkenar olduğu için m(ABD) = m(ADB) olur. ADB açısı, DBC üçgeninin D köşesindeki dış açıdır; bu yüzden C açısından büyüktür. Böylece m(B) > m(ABD) = m(ADB) > m(C) bulunur: uzun kenar olan b'nin karşısındaki B açısı, kısa kenar olan c'nin karşısındaki C açısından büyüktür.
Dik ve geniş açılı üçgenler
Bir üçgende dik ya da geniş açı varsa öbür iki açı dardır ve ondan küçüktür. Bu yüzden dik ya da geniş açının karşısındaki kenar üçgenin en uzun kenarıdır; dik üçgende bu kenar hipotenüstür. Örneğin m(A) = 100° olan bir ABC üçgeninde a, hem b'den hem c'den uzundur. Bu bilgi, bir kenarın aralığını bulurken alt sınır olarak sık kullanılır.
Çözümlü örnekler
Örnek 1. ABC üçgeninde m(A) = 2x + 10°, m(B) = 3x − 20° ve m(C) = x + 40°'dir. Üçgenin kenarlarını uzunluklarına göre sıralayınız.
Çözüm. Açıların toplamı 180°'dir: 6x + 30° = 180°, yani x = 25° bulunur. Açılar m(A) = 60°, m(B) = 55° ve m(C) = 65°'dir. Sıralama m(C) > m(A) > m(B) olduğundan karşılarındaki kenarlar c > a > b, yani |AB| > |BC| > |AC| biçiminde sıralanır.
Örnek 2. Kenar uzunlukları |AB| = 7 cm, |BC| = 9 cm ve |AC| = 5 cm olan ABC üçgeninin açılarını ölçülerine göre sıralayınız. En büyük açı hangi köşededir?
Çözüm. Kenarlar a = |BC| = 9, b = |AC| = 5 ve c = |AB| = 7'dir. a > c > b olduğundan karşılarındaki açılar m(A) > m(C) > m(B) sırasındadır. En büyük açı, en uzun kenar olan [BC] kenarının karşısındaki A köşesindedir. Önce üçgenin var olduğunu kontrol etmek iyi bir alışkanlıktır: 9 < 5 + 7.
Sık yapılan hatalar
- Açıyı, karşısındaki kenar yerine kollarından biriyle eşleştirmek.
- Kenar sıralamasından açı sıralamasına geçerken sırayı ters çevirmek.
- Eş kenarların karşısındaki açıların eş olduğunu unutmak.
- Büyük açının karşısında büyük kenar, küçük açının karşısında küçük kenar vardır.
- Bağıntı iki yönlüdür: açı sırası kenar sırasını, kenar sırası açı sırasını verir.
- Dik ya da geniş açının karşısındaki kenar en uzun kenardır.