Konu anlatımı
Bir noktanın bir doğruya uzaklığı, noktadan doğruya inen dikmenin uzunluğudur. Bu alt başlıkta bu uzaklığı veren bağıntıyı, paralel doğrular arasındaki uzaklığı ve dikmenin ayağını bulmayı göreceksin.
Bağıntı
P(x₀, y₀) noktasının ax + by + c = 0 doğrusuna uzaklığı |a·x₀ + b·y₀ + c|/√(a² + b²) olur. Bağıntıyı kullanmadan önce doğru denklemini ax + by + c = 0 biçimine getirmelisin. P(3, 4) noktasının 3x + 4y − 5 = 0 doğrusuna uzaklığı |9 + 16 − 5|/5 = 4 birimdir. Nokta doğru üzerindeyse pay 0 olur ve uzaklık 0 bulunur.
Paralel doğrular arasındaki uzaklık
Paralel iki doğru arasındaki uzaklık, birinin üzerindeki herhangi bir noktanın öbürüne uzaklığıdır. Doğrular ax + by + c₁ = 0 ve ax + by + c₂ = 0 biçiminde, yani x ve y'nin katsayıları aynı olacak biçimde yazılırsa uzaklık |c₁ − c₂|/√(a² + b²) olur. 3x + 4y − 2 = 0 ile 6x + 8y + 6 = 0 doğrularında ikincisi 3x + 4y + 3 = 0 biçimine getirilir ve uzaklık |−2 − 3|/5 = 1 bulunur.
Dikme ayağı
P noktasından doğruya inen dikmenin ayağı, P'den geçen ve verilen doğruya dik olan doğru ile verilen doğrunun kesişim noktasıdır. Dikme ayağı H ise |PH| aradığın uzaklıktır; bu yol, uzaklık bağıntısını hatırlamadığında da sonuca ulaştırır.
Çözümlü örnekler
Örnek 1. A(2, −1) noktasının y = 2x + 5 doğrusuna uzaklığı kaç birimdir?
Çözüm. Doğruyu genel biçime getiririz: 2x − y + 5 = 0. Uzaklık |2·2 − (−1) + 5|/√(4 + 1) = 10/√5 = 2√5 birimdir. Paydayı kökten kurtarmak için 10/√5 kesrini √5 ile genişlettik.
Örnek 2. P(1, 2) noktasından y = x + 3 doğrusuna inen dikmenin ayağını ve P'nin bu doğruya uzaklığını bulunuz.
Çözüm. Verilen doğrunun eğimi 1 olduğundan dikmenin eğimi −1'dir; P'den geçen dikme y − 2 = −(x − 1), yani y = −x + 3 olur. İki doğruyu eşitleyince x + 3 = −x + 3, x = 0 ve y = 3 bulunur; dikme ayağı H(0, 3) olur. |PH| = √(1 + 1) = √2'dir ve bağıntı da |1 − 2 + 3|/√2 = √2 sonucunu verir.
Örnek 3. 3x − 4y + 1 = 0 doğrusuna paralel olan ve bu doğruya uzaklığı 2 birim olan doğruların denklemlerini bulunuz.
Çözüm. Paralel doğrular 3x − 4y + c = 0 biçimindedir. Uzaklık |c − 1|/√(9 + 16) = 2 olmalıdır; buradan |c − 1| = 10, yani c = 11 ya da c = −9 bulunur. İstenen doğrular 3x − 4y + 11 = 0 ve 3x − 4y − 9 = 0'dır; biri verilen doğrunun bir yanında, öbürü öbür yanındadır.
Sık yapılan hatalar
- Doğruyu ax + by + c = 0 biçimine getirmeden bağıntıyı uygulamak.
- Paralel doğrular arasındaki uzaklıkta x ve y'nin katsayılarını eşitlemeden c değerlerini çıkarmak.
- Paydadaki √(a² + b²) ifadesini unutmak ya da paydaki mutlak değeri almamak.
- Uzaklık = |a·x₀ + b·y₀ + c|/√(a² + b²).
- Paralel doğrular arasındaki uzaklık |c₁ − c₂|/√(a² + b²); önce katsayıları eşitle.
- Dikme ayağı, dik doğru ile verilen doğrunun kesişimidir.