Konu anlatımı
Çemberdeki açıların en temeli merkez açı ve çevre açıdır; öbür açıların hepsi bunlardan elde edilir. Bu alt başlıkta bu iki açının yayla ilişkisini, çapı gören açıyı ve dört köşesi çember üzerinde olan dörtgenleri göreceksin.
Merkez açı
Köşesi çemberin merkezinde, kolları yarıçap olan açıya merkez açı denir. Merkez açının ölçüsü gördüğü yayın ölçüsüne eşittir: m(AOB) = 80° ise AB küçük yayı 80°, büyük yayı 280°'dir. Eşit merkez açılar eşit yayları ve eşit kirişleri görür. Merkez açının kolları eşit yarıçaplar olduğu için AOB üçgeni ikizkenardır.
Çevre açı
Köşesi çember üzerinde, kolları kiriş olan açıya çevre açı denir. Çevre açının ölçüsü gördüğü yayın ölçüsünün yarısıdır. Bu yüzden aynı yayı gören bütün çevre açılar eştir ve aynı yayı gören merkez açının yarısına eşittir. Çapı gören çevre açı, 180°'lik yayın yarısı olan 90°'dir; çapın uçlarını çember üzerindeki bir noktaya birleştiren üçgen her zaman dik üçgendir.
Kirişler dörtgeni
Dört köşesi bir çember üzerinde olan dörtgene kirişler dörtgeni denir. Karşılıklı iki açı, birlikte bütün çemberi oluşturan iki yayı gördüğü için toplamları 360°'nin yarısı, yani 180°'dir. ABCD kirişler dörtgeninde m(A) = 75° ise m(C) = 105°'dir. Bir köşedeki dış açı da karşı köşedeki iç açıya eşittir.
Çözümlü örnekler
Örnek 1. O merkezli çemberde A, B ve C noktaları çember üzerindedir ve C, AB büyük yayı üzerindedir. m(AOB) = 110° olduğuna göre m(ACB) ve m(OAB) kaç derecedir?
Çözüm. ACB çevre açısı, merkez açısı 110° olan AB küçük yayını görür; ölçüsü bu yayın yarısıdır: m(ACB) = 55°. OAB üçgeninde |OA| = |OB| = r olduğundan üçgen ikizkenardır ve m(OAB) = (180° − 110°)/2 = 35°'dir.
Örnek 2. [AB] çaplı bir çember üzerinde bir C noktası alınıyor; |AC| = 6 cm ve |BC| = 8 cm'dir. Çemberin yarıçapı kaç santimetredir?
Çözüm. Çapı gören çevre açı 90° olduğu için ACB üçgeni C'de dik açılıdır. Pisagor teoremiyle |AB| = √(36 + 64) = 10 cm bulunur. [AB] çap olduğundan yarıçap 5 cm'dir.
Örnek 3. ABCD kirişler dörtgeninde m(A) = 2x + 10° ve m(C) = 3x − 20°'dir. x kaç derecedir ve A açısı kaç derecedir?
Çözüm. Kirişler dörtgeninde karşılıklı açıların toplamı 180°'dir: (2x + 10°) + (3x − 20°) = 180°. Buradan 5x = 190° ve x = 38° bulunur. m(A) = 86° ve m(C) = 94° olur; toplamları 180°'dir.
Sık yapılan hatalar
- Çevre açıyı gördüğü yaya eşit almak.
- Merkez açı ile çevre açının aynı yayı görüp görmediğine bakmadan ilişki kurmak.
- Kirişler dörtgeninde komşu açıların toplamını 180° sanmak; toplamı 180° olan karşılıklı açılardır.
- Merkez açı gördüğü yaya, çevre açı gördüğü yayın yarısına eşittir.
- Çapı gören çevre açı 90°'dir.
- Kirişler dörtgeninde karşılıklı açıların toplamı 180°'dir.