Konu anlatımı
Paralelkenar, karşılıklı kenarları paralel olan dörtgendir; dikdörtgen, eşkenar dörtgen ve kare onun özel durumlarıdır. Bu alt başlıkta paralelkenarın açı, kenar ve köşegen özelliklerini, açıortay sorularını ve alan hesabını göreceksin.
Kenarlar, açılar ve köşegenler
ABCD paralelkenarında AB ∥ CD ve AD ∥ BC'dir. [AC] köşegeni paralelkenarı A.K.A. kuralıyla eş iki üçgene ayırdığı için karşılıklı kenarlar ve karşılıklı açılar eştir. Ardışık iki açının toplamı 180°'dir. Köşegenler birbirini ortalar ve kesişim noktası paralelkenarın simetri merkezidir; ama köşegenler genellikle eşit de dik de değildir.
Açıortaylar
Paralelkenarda bir köşenin açıortayı, karşıdaki kenarla bir ikizkenar üçgen oluşturur. A'daki açıortay [DC] kenarını E'de keserse DEA açısı, EAB açısıyla iç ters açı olduğu için DAE açısına eşittir; bu yüzden |DE| = |DA| olur. Ardışık iki köşenin açıortayları birbirine diktir, çünkü bu iki açının yarılarının toplamı 90°'dir.
Alan
Paralelkenarın alanı bir kenar ile o kenara ait yüksekliğin çarpımıdır: |AB|·h. Kenarları a ve b, aralarındaki açı α ise yükseklik b·sin α olduğundan alan a·b·sin α olur. Köşegenler paralelkenarı alanları eşit dört üçgene ayırır; her köşegen alanı ikiye böler.
Çözümlü örnekler
Örnek 1. ABCD paralelkenarında |AB| = 10 cm ve |AD| = 6 cm'dir. A'daki açıortay [DC] kenarını E noktasında kesiyor. |EC| kaç santimetredir?
Çözüm. DEA açısı, EAB açısıyla iç ters açı olduğundan DAE açısına eşittir. Bu yüzden ADE üçgeni ikizkenardır ve |DE| = |DA| = 6 cm'dir. |EC| = |DC| − |DE| = 10 − 6 = 4 cm bulunur.
Örnek 2. Kenarları 8 cm ve 5 cm olan bir paralelkenarın dar açısı 30°'dir. Alanı kaç cm²'dir? Uzun kenara ait yüksekliği kaç santimetredir?
Çözüm. Alan a·b·sin α = 8·5·sin 30° = 8·5·1/2 = 20 cm²'dir. Uzun kenara ait yükseklik h ise 8·h = 20 ve h = 2,5 cm olur; bu değer 5·sin 30° ile de bulunur.
Örnek 3. ABCD paralelkenarında A ve B köşelerindeki açıortaylar [DC] kenarı üzerindeki aynı E noktasında kesişiyor. |AB| = 12 cm olduğuna göre |AD| kaç santimetredir? m(AEB) kaç derecedir?
Çözüm. A'daki açıortay ADE, B'deki açıortay BCE ikizkenar üçgenini oluşturur: |DE| = |DA| ve |CE| = |CB|. Paralelkenarda |DA| = |CB| olduğundan E, [DC] kenarının orta noktasıdır ve |DC| = 2·|AD| olur. |DC| = |AB| = 12 cm olduğundan |AD| = 6 cm'dir. Ardışık açıların açıortayları dik olduğundan m(AEB) = 90°'dir.
Sık yapılan hatalar
- Paralelkenarın köşegenlerini eşit ya da dik sanmak.
- Açıortayın oluşturduğu ikizkenar üçgende eş kenarları yanlış belirlemek.
- Alanı iki kenarın çarpımı sanmak; paralelkenarda alan kenar ile yüksekliğin çarpımıdır.
- Karşılıklı kenarlar ve açılar eş, ardışık açılar bütünler, köşegenler birbirini ortalar.
- Bir köşenin açıortayı karşı kenarla ikizkenar üçgen oluşturur.
- Alan = a·h = a·b·sin α; köşegenler alanı dört eş parçaya böler.