Konu anlatımı
Özel dörtgenlere geçmeden önce her dörtgende geçerli olan özellikleri bilmek gerekir. Bu alt başlıkta dışbükey ve içbükey dörtgeni, açılar toplamını, açıortaylar arasındaki açıyı ve özel dörtgenlerin birbirleriyle ilişkisini göreceksin.
Dışbükey ve içbükey dörtgen
Her iç açısı 180°'den küçük olan ve köşegenleri içinde kalan dörtgene dışbükey dörtgen denir. Bir iç açısı 180°'den büyük olan dörtgene içbükey dörtgen denir; bu dörtgende köşegenlerden biri dörtgenin dışında kalır. Bu sayfada dörtgen denildiğinde dışbükey dörtgen anlaşılır.
Açılar ve çevre
ABCD dörtgeninde [AC] köşegeni dörtgeni ABC ve ACD üçgenlerine ayırır; iki üçgenin açıları birlikte dörtgenin açılarını oluşturur. Bu yüzden iç açılar toplamı 360°'dir. Her köşedeki iç ve dış açılar bütünler olduğu için dış açılar toplamı 4·180° − 360° = 360° olur. Çevre, Ç(ABCD) = |AB| + |BC| + |CD| + |DA| ile gösterilir.
Açıortaylar arasındaki açı
ABCD dörtgeninde A ve B köşelerindeki iç açıortaylar E noktasında kesişsin. ABE üçgeninde m(AEB) = 180° − (m(A) + m(B))/2 olur. m(A) + m(B) = 360° − m(C) − m(D) yazılınca m(AEB) = (m(C) + m(D))/2 bulunur. Yani komşu iki köşedeki açıortayların arasındaki açı, öbür iki açının toplamının yarısıdır.
Özel dörtgenlerin hiyerarşisi
En az bir çift karşılıklı kenarı paralel olan dörtgen yamuktur; iki çift karşılıklı kenarı paralel olan yamuk paralelkenardır. Açıları dik olan paralelkenar dikdörtgen, kenarları eş olan paralelkenar eşkenar dörtgendir; hem dikdörtgen hem eşkenar dörtgen olan dörtgen karedir. Eşkenar dörtgen aynı zamanda bir deltoiddir. Özel bir tür, kapsandığı genel türün bütün özelliklerini taşır: örneğin kare; paralelkenarın, dikdörtgenin ve eşkenar dörtgenin bütün özelliklerine sahiptir.
Çözümlü örnekler
Örnek 1. ABCD dörtgeninde A ve B köşelerindeki iç açıortaylar E noktasında kesişiyor. m(C) = 110° ve m(D) = 80° olduğuna göre m(AEB) kaç derecedir?
Çözüm. m(AEB) = (m(C) + m(D))/2 = (110° + 80°)/2 = 95°'dir. Kontrol için A ve B açılarının toplamı 360° − 190° = 170° olur; ABE üçgeninde bunların yarılarının toplamı 85° olduğundan m(AEB) = 180° − 85° = 95° bulunur.
Örnek 2. Bir dörtgenin iç açıları 3, 4, 5 ve 6 sayılarıyla orantılıdır. En büyük açı ile en küçük açı arasındaki fark kaç derecedir?
Çözüm. Açılar 3k, 4k, 5k ve 6k olsun; toplamları 18k = 360° olduğundan k = 20° bulunur. Açılar 60°, 80°, 100° ve 120°'dir. En büyük ile en küçük açının farkı 120° − 60° = 60°'dir. Bütün açılar 180°'den küçük olduğu için dörtgen dışbükeydir.
Sık yapılan hatalar
- Dörtgenin iç açıları toplamını 180° almak.
- Açıortaylar arasındaki açıyı, açıortayı çizilen iki açının toplamının yarısı sanmak; doğrusu öbür iki açının toplamının yarısıdır.
- Her paralelkenarı dikdörtgen ya da her eşkenar dörtgeni kare sanmak.
- İç açılar toplamı 360°, dış açılar toplamı 360°'dir.
- A ve B'deki açıortaylar arasındaki açı, C ve D açılarının toplamının yarısıdır.
- Özel bir dörtgen, kapsandığı genel dörtgenin bütün özelliklerini taşır.