Konu anlatımı
Dik üçgende hipotenüsün orta noktası üç köşeye eşit uzaklıktadır. Bu basit özellik, dik üçgende uzunluk ve açı sorularının çoğunu kısaltır. Bu alt başlıkta özelliğin nedenini, oluşan ikizkenar üçgenleri ve hipotenüse çizilen yükseklik, kenarortay ve açıortay arasındaki açıları göreceksin.
Özellik
m(A) = 90° olan ABC dik üçgeninde [BC] hipotenüsünün orta noktası D olsun. D'den [AB] kenarına inen dikme [AC] kenarına paraleldir ve [BC] kenarının orta noktasından çizildiği için [AB] kenarını da ortalar. Bu dikme [AB] kenarının orta dikmesi olduğundan |DA| = |DB| olur. Böylece |DA| = |DB| = |DC| = |BC|/2 bulunur. Tersi de doğrudur: bir kenarortay ait olduğu kenarın yarısına eşitse o kenarın karşısındaki açı 90°'dir.
Oluşan ikizkenar üçgenler
|DA| = |DB| = |DC| olduğundan ADB ve ADC üçgenleri ikizkenardır: m(DAC) = m(C) ve m(DAB) = m(B). ADB açısı ADC üçgeninin dış açısı olduğundan m(ADB) = 2·m(C) olur. m(C) = 35° ise m(ADB) = 70° ve m(ADC) = 110°'dir.
Kenarortay, yükseklik ve açıortay
A'dan hipotenüse inen yükseklik [AH] olsun. Yükseklik [AB] ile 90° − m(B) = m(C) kadar, kenarortay ise [AB] ile m(B) kadar açı yapar. Bu yüzden yükseklik ile kenarortay arasındaki açı B ve C açılarının farkına eşittir. A'daki açıortay [AB] ile 45°'lik açı yapar ve m(B) + m(C) = 90° olduğundan tam bu iki doğru parçasının ortasındadır; açıortay ile kenarortay arasındaki açı, B ve C açılarının farkının yarısıdır.
Çözümlü örnekler
Örnek 1. ABC üçgeninde m(A) = 90° ve [AD] hipotenüse ait kenarortaydır. m(C) = 35° ve |BC| = 14 cm olduğuna göre m(ADB) kaç derecedir ve |AD| kaç santimetredir?
Çözüm. Hipotenüse ait kenarortay hipotenüsün yarısıdır: |AD| = 7 cm. |AD| = |DC| olduğundan ADC üçgeni ikizkenardır ve m(DAC) = 35°'dir. ADB açısı bu üçgenin dış açısıdır: m(ADB) = 35° + 35° = 70°.
Örnek 2. ABC dik üçgeninde m(A) = 90° ve m(B) = 62°'dir. [AH] hipotenüse ait yükseklik, [AD] hipotenüse ait kenarortay ve [AE] A açısının açıortayıdır. m(HAD) ve m(EAD) kaç derecedir?
Çözüm. m(C) = 28°'dir. Yükseklik [AB] ile 90° − 62° = 28°'lik, kenarortay [AB] ile 62°'lik açı yapar; aradaki açı m(HAD) = 62° − 28° = 34° olur. Açıortay [AB] ile 45°'lik açı yaptığından m(EAD) = 62° − 45° = 17° bulunur. Açıortay yükseklik ile kenarortayın tam ortasındadır: 34° açının yarısı 17°'dir.
Örnek 3. ABC üçgeninde m(A) = 90°, |AB| = 6 cm ve |AC| = 8 cm'dir. [BC] kenarına ait kenarortay ile [AB] kenarına ait kenarortayın uzunlukları kaçar santimetredir?
Çözüm. Pisagor teoremiyle |BC| = 10 cm'dir ve hipotenüse ait kenarortay 5 cm'dir. [AB] kenarına ait kenarortay C köşesini [AB] kenarının orta noktası M'ye birleştirir. CAM üçgeni A'da dik açılıdır ve |AM| = 3 cm olduğundan |CM| = √(8² + 3²) = √73 cm bulunur. Kenarortay için ayrı bir formüle gerek kalmaz; dik üçgende Pisagor teoremi yeterlidir.
Sık yapılan hatalar
- Hipotenüse ait kenarortay özelliğini dik kenarlara ait kenarortaylara uygulamak.
- Yükseklik ile kenarortayı aynı doğru parçası sanmak; ikisi yalnızca ikizkenar dik üçgende çakışır.
- Kenarortayın oluşturduğu ikizkenar üçgenlerde eş açıları yanlış köşelere yerleştirmek.
- Dik üçgende hipotenüsün orta noktası üç köşeye eşit uzaklıktadır.
- m(DAC) = m(C) ve m(ADB) = 2·m(C).
- Açıortay, hipotenüse ait yükseklik ile kenarortay arasındaki açıyı ikiye böler.