Konu anlatımı
Açıortay ve kenarortayın yanında üçgenin iki yardımcı elemanı daha vardır: kenar orta dikme ve yükseklik. Bu alt başlıkta kenar orta dikmelerin ve yüksekliklerin kesişim noktalarını, bu noktaların üçgenin çeşidine göre nerede bulunduğunu ve sorularda nasıl kullanıldığını göreceksin.
Kenar orta dikme
Bir doğru parçasının orta noktasından geçen ve ona dik olan doğruya orta dikme denir. Orta dikme üzerindeki her nokta doğru parçasının iki ucuna eşit uzaklıktadır; tersi de doğrudur: iki uca eşit uzaklıktaki her nokta orta dikme üzerindedir. Bu yüzden [BC] kenarının orta dikmesi üzerindeki bir P noktası için PBC üçgeni ikizkenardır.
Çevrel çemberin merkezi
Bir üçgenin üç kenar orta dikmesi tek bir noktada kesişir. Bu nokta üç köşeye eşit uzaklıkta olduğu için üç köşeden geçen çemberin, yani çevrel çemberin merkezidir. Dar açılı üçgende bu nokta üçgenin içinde, dik üçgende hipotenüsün orta noktasında, geniş açılı üçgende üçgenin dışındadır.
Yükseklikler ve diklik merkezi
Bir köşeden karşı kenara ya da onun uzantısına inen dikmeye yükseklik denir. Üç yüksekliği taşıyan doğrular tek bir noktada kesişir; bu noktaya diklik merkezi denir. Dar açılı üçgende diklik merkezi içte, dik üçgende dik açının köşesinde, geniş açılı üçgende dışta bulunur. Geniş açılı üçgende geniş açıya komşu kenarlara ait yükseklikler bu kenarların uzantılarına iner.
Çözümlü örnekler
Örnek 1. ABC üçgeninde [BC] kenarının orta dikmesi [AC] kenarını P noktasında kesiyor. m(B) = 70° ve m(C) = 40° olduğuna göre m(ABP) kaç derecedir?
Çözüm. P orta dikme üzerinde olduğundan |PB| = |PC| ve PBC üçgeni ikizkenardır: m(PBC) = m(C) = 40°. m(ABP) = m(ABC) − m(PBC) = 70° − 40° = 30° bulunur.
Örnek 2. Dik kenarları 9 cm ve 12 cm olan dik üçgenin çevrel çemberinin yarıçapı kaç santimetredir? Bu üçgenin diklik merkezi nerededir?
Çözüm. Hipotenüs √(81 + 144) = 15 cm'dir. Dik üçgende kenar orta dikmeler hipotenüsün orta noktasında kesişir; bu nokta üç köşeye eşit uzaklıkta olduğundan yarıçap 15/2 = 7,5 cm'dir. Dik kenarlar birbirinin yüksekliği olduğu için yükseklikler dik açının köşesinde kesişir; diklik merkezi bu köşedir.
Sık yapılan hatalar
- Kenar orta dikmeyi kenarortayla karıştırmak; kenarortay karşı köşeden gelir, orta dikme ise kenara diktir ve köşeden geçmek zorunda değildir.
- Geniş açılı üçgende diklik merkezini ve çevrel çemberin merkezini üçgenin içinde aramak.
- Yüksekliğin her zaman kenarın üzerine indiğini sanmak; geniş açılı üçgende bazı yükseklikler kenarın uzantısına iner.
- Orta dikme üzerindeki her nokta iki uca eşit uzaklıktadır.
- Kenar orta dikmeler çevrel çemberin merkezinde, yükseklikler diklik merkezinde kesişir.
- Dik üçgende çevrel çemberin merkezi hipotenüsün orta noktası, diklik merkezi dik açının köşesidir.