Konu anlatımı
Üç kenarı eş olan eşkenar üçgen, hem ikizkenar üçgenin bütün özelliklerini taşır hem de kendine özgü kısa bağıntılara sahiptir. Bu alt başlıkta eşkenar üçgenin yüksekliğini, alanını ve özel noktalarını göreceksin.
Açılar ve yükseklik
Eşkenar üçgenin üç açısı eştir ve her biri 60°'dir. Kenarı a olan eşkenar üçgende bir köşeden inen yükseklik karşı kenarı a/2 uzunluğunda iki parçaya ayırır. Pisagor teoremiyle h² = a² − (a/2)² = 3a²/4 bulunur, yani h = a√3/2'dir. Kenarı 10 cm olan eşkenar üçgenin yüksekliği 5√3 cm'dir.
Alan
Alan, taban ile yüksekliğin çarpımının yarısıdır: a·(a√3/2)/2 = a²√3/4. Kenarı 4 cm olan eşkenar üçgenin alanı 16√3/4 = 4√3 cm²'dir. Yükseklik verilmişse önce kenar bulunur: yükseklik 6 cm ise a√3/2 = 6 eşitliğinden a = 4√3 cm olur ve alan (4√3)²·√3/4 = 12√3 cm² bulunur.
Özel noktalar
Eşkenar üçgende her yükseklik aynı zamanda kenarortay, açıortay ve kenar orta dikmedir. Bu yüzden ağırlık merkezi, iç teğet çemberin merkezi ve çevrel çemberin merkezi tek bir noktada buluşur. Ağırlık merkezi her kenarortayı köşeden itibaren 2 : 1 oranında böldüğü için iç teğet çemberin yarıçapı h/3, çevrel çemberin yarıçapı 2h/3'tür. Kenarı 6 cm olan eşkenar üçgende h = 3√3 cm, iç teğet çemberin yarıçapı √3 cm, çevrel çemberin yarıçapı 2√3 cm'dir.
Çözümlü örnekler
Örnek 1. Yüksekliği 6√3 cm olan eşkenar üçgenin çevresi ve alanı kaçtır?
Çözüm. a√3/2 = 6√3 eşitliğinden a = 12 cm bulunur. Çevre 3·12 = 36 cm'dir. Alan a²√3/4 = 144√3/4 = 36√3 cm²'dir. Aynı sonucu taban çarpı yükseklik bölü iki ile de bulursun: 12·6√3/2 = 36√3.
Örnek 2. Alanı 25√3 cm² olan eşkenar üçgenin iç teğet çemberinin yarıçapı kaç santimetredir?
Çözüm. a²√3/4 = 25√3 eşitliğinden a² = 100 ve a = 10 cm bulunur. Yükseklik 10√3/2 = 5√3 cm'dir. İç teğet çemberin merkezi ağırlık merkezi olduğundan yarıçap yüksekliğin üçte biridir: 5√3/3 cm.
Sık yapılan hatalar
- Yüksekliği a√3 ya da a/2 sanmak; doğrusu a√3/2'dir.
- Alanı a²√3/2 diye yazmak; doğrusu a²√3/4'tür.
- İç teğet çemberin yarıçapını yüksekliğin yarısı sanmak; doğrusu üçte biridir.
- Yükseklik a√3/2, alan a²√3/4'tür.
- Eşkenar üçgende ağırlık merkezi, iç ve çevrel çemberin merkezi aynı noktadır.
- İç teğet çemberin yarıçapı h/3, çevrel çemberin yarıçapı 2h/3'tür.