Konu anlatımı
Bir noktadan kenarlara indirilen dikmelerin uzunlukları tek tek hesaplanamasa da toplamları sabit olabilir. Bu alt başlıkta eşkenar ve ikizkenar üçgende bu sabit toplamın ne olduğunu ve alanla nasıl kanıtlandığını göreceksin.
Eşkenar üçgende iç nokta
Kenarı a olan ABC eşkenar üçgeninin içindeki bir P noktasından [BC], [AC] ve [AB] kenarlarına inen dikmelerin uzunlukları x, y ve z olsun. P'yi köşelere birleştirirsen üçgen PBC, PCA ve PAB üçgenlerine ayrılır; bu üçgenlerin tabanları a, yükseklikleri x, y ve z'dir. Alanlar toplanınca a·x/2 + a·y/2 + a·z/2 = a·h/2 yazılır ve x + y + z = h bulunur. Toplam, P noktası nerede olursa olsun yüksekliğe eşittir.
İkizkenar üçgende tabandaki nokta
|AB| = |AC| olan ABC üçgeninde P noktası [BC] tabanı üzerinde olsun ve P'den [AB] ile [AC] kenarlarına inen dikmelerin uzunlukları x ve y olsun. [AP] doğru parçası üçgeni APB ve APC üçgenlerine ayırır; bu üçgenlerin tabanları eş kenarlar olduğundan |AB|·x/2 + |AB|·y/2 = |AB|·h/2 yazılır. Buradan x + y = h bulunur; burada h, B'den [AC] kenarına inen yüksekliktir.
Kullanım
Bu özellikler, dikmelerden biri bilinmediğinde eksik dikmeyi ya da toplamı bulmanı sağlar. Eşkenar üçgende dikmelerin toplamı bilinirse yükseklik, oradan da kenar ve alan bulunur. İkizkenar üçgende toplam P'nin yerine bağlı olmadığı için P'yi B köşesine götürerek düşünebilirsin: bu durumda bir dikme 0, öbürü B'den [AC] kenarına inen yüksekliktir.
Çözümlü örnekler
Örnek 1. Kenarı 8 cm olan eşkenar üçgenin içindeki bir P noktasının iki kenara uzaklıkları 2 cm ve 3 cm'dir. P'nin üçüncü kenara uzaklığı kaç santimetredir?
Çözüm. Dikmelerin toplamı yüksekliğe eşittir: 8√3/2 = 4√3 cm. Üçüncü uzaklık 4√3 − 2 − 3 = 4√3 − 5 cm'dir. 4√3 yaklaşık 6,93 olduğundan bu uzunluk yaklaşık 1,93 cm'dir; pozitif olduğu için böyle bir iç nokta vardır.
Örnek 2. ABC üçgeninde |AB| = |AC| = 10 cm ve |BC| = 12 cm'dir. [BC] üzerindeki bir P noktasından [AB] ve [AC] kenarlarına inen dikmelerin uzunlukları toplamı kaç santimetredir?
Çözüm. Tabana ait yükseklik √(10² − 6²) = 8 cm ve alan 12·8/2 = 48 cm²'dir. B'den [AC] kenarına inen yüksekliği, alanı bu kenar üzerinden yazarak buluruz: 10·h/2 = 48 ve h = 9,6 cm. Dikmelerin toplamı bu yüksekliğe eşittir, yani 9,6 cm'dir.
Sık yapılan hatalar
- İkizkenar üçgende dikmeler toplamını tabana ait yüksekliğe eşitlemek; doğrusu yan kenara ait yüksekliktir.
- Eşkenar üçgendeki özelliği üçgenin dışındaki noktalar için de kullanmak.
- Kenarlara olan uzaklıkları köşelere olan uzaklıklarla karıştırmak.
- Eşkenar üçgende iç noktadan kenarlara dikmelerin toplamı yüksekliğe eşittir.
- İkizkenar üçgende tabandaki noktadan yan kenarlara dikmelerin toplamı yan kenara ait yüksekliğe eşittir.
- İki özellik de alanı parçalara bölerek kanıtlanır.