Konu anlatımı
Açıortay sorularında çoğu zaman iki açıortayın kesiştiği noktada oluşan açı sorulur. Bu alt başlıkta iç ve dış açıortayların üç farklı kesişim durumunu, bağıntıların nasıl elde edildiğini ve aynı köşeden çizilen açıortay ile yükseklik arasındaki açıyı göreceksin.
İki iç açıortay
ABC üçgeninde B ve C köşelerindeki iç açıortaylar I noktasında kesişsin. BIC üçgeninde B ve C'deki açılar m(B)/2 ve m(C)/2 olduğundan m(BIC) = 180° − (m(B) + m(C))/2 bulunur. m(B) + m(C) = 180° − m(A) yazınca m(BIC) = 90° + m(A)/2 olur. Üç iç açıortay aynı noktada kesişir; bu nokta, üçgenin iç teğet çemberinin merkezidir.
İç ve dış açıortay
B'deki iç açıortay ile C'deki dış açıortay E noktasında kesişsin. C'deki dış açı m(A) + m(B) toplamına eşittir ve yarısı, BEC üçgeninin C köşesindeki dış açıdır. Bu dış açı BEC üçgeninde komşu olmayan iki iç açının toplamı olduğundan (m(A) + m(B))/2 = m(BEC) + m(B)/2 yazılır ve m(BEC) = m(A)/2 çıkar. Aynı köşedeki iç ve dış açıortaylar birbirine diktir; bu yüzden m(ICE) = 90°'dir.
İki dış açıortay
B ve C'deki dış açıortaylar F noktasında kesişsin. B'deki ve C'deki dış açıların yarıları, BFC üçgeninin B ve C'deki iç açılarıdır: (180° − m(B))/2 ve (180° − m(C))/2. İç açılar toplamından m(BFC) = (m(B) + m(C))/2 = 90° − m(A)/2 bulunur. F noktası, A'daki iç açıortayın da üzerindedir.
Açıortay ile yükseklik arasındaki açı
A köşesinden çizilen iç açıortay ile yükseklik arasındaki açı, B ve C açılarının farkının yarısıdır. m(B) = 70° ve m(C) = 30° ise m(A) = 80° olur ve açıortay A açısını 40°'lik iki parçaya ayırır. Yükseklik ise A'da AB ile 90° − 70° = 20°'lik, AC ile 90° − 30° = 60°'lik açı yapar. Açıortay ile yükseklik arasındaki açı 40° − 20° = 20°'dir ve bu değer 70° ile 30°'nin farkının yarısına eşittir.
Çözümlü örnekler
Örnek 1. ABC üçgeninde m(A) = 76°'dir. B ve C'deki iç açıortaylar I noktasında, B'deki iç açıortay ile C'deki dış açıortay E noktasında kesişiyor. m(BIC) + m(BEC) toplamı kaç derecedir?
Çözüm. İki iç açıortayın kesişiminde m(BIC) = 90° + 76°/2 = 128°'dir. İç ve dış açıortayın kesişiminde m(BEC) = 76°/2 = 38°'dir. Toplam 128° + 38° = 166°'dir. I ve E noktaları C'deki iç ve dış açıortaylar üzerinde olduğundan m(ICE) = 90° olduğunu da unutma.
Örnek 2. ABC üçgeninde B ve C köşelerindeki dış açıortaylar F noktasında kesişiyor ve m(BFC) = 54°'dir. m(A) kaç derecedir?
Çözüm. İki dış açıortayın kesişiminde m(BFC) = 90° − m(A)/2 olur. 90° − m(A)/2 = 54° eşitliğinden m(A)/2 = 36° ve m(A) = 72° bulunur. Kontrol: m(B) = 60° ve m(C) = 48° alınırsa dış açıların yarıları 60° ve 66° olur; 180° − 60° − 66° = 54°.
Sık yapılan hatalar
- Üç durumu karıştırıp iç ve dış açıortayın kesişiminde de 90° + A/2 kullanmak.
- Dış açıortayın iç açıyı ikiye böldüğünü sanmak; dış açıortay dış açıyı ikiye böler.
- Açıortay ile yükseklik arasındaki açıyı B ve C açılarının farkı olarak almak; doğrusu farkın yarısıdır.
- İki iç açıortay: 90° + A/2.
- B'de iç, C'de dış açıortay: A/2.
- İki dış açıortay: 90° − A/2; aynı köşedeki iç ve dış açıortaylar diktir.