Konu anlatımı
Bir ağacın boyunu tırmanmadan ya da bir nehrin genişliğini karşıya geçmeden ölçmek benzerlikle mümkündür. Bu alt başlıkta gölge, ayna ve nişan alma yöntemleriyle kurulan benzer üçgenleri göreceksin.
Güneş ve gölge
Güneş çok uzakta olduğu için ışınları birbirine paralel kabul edilir. Aynı anda yere dik duran cisimlerin boyları ile gölgeleri arasında oluşan dik üçgenler benzerdir; bu yüzden boy/gölge oranı her cisim için aynıdır. 1,6 m boyundaki bir kişinin gölgesi 2 m iken gölgesi 15 m olan bir binanın yüksekliği 15·1,6/2 = 12 m'dir.
Sokak lambası
Işık kaynağı bir lamba olduğunda ışınlar paralel değildir; lambadan çıkan ışın kişinin başının üstünden geçerek gölgenin ucuna ulaşır. Lamba direği ile gölgenin ucu arasında büyük bir dik üçgen, kişi ile gölgenin ucu arasında küçük bir dik üçgen oluşur ve bu iki üçgen benzerdir. Kişi lambadan uzaklaştıkça gölgesi uzar.
Ayna ve nişan alma
Yere düz bir ayna koyan kişi aynada bir cismin tepesini görüyorsa, soruda verildiği gibi ışınların aynayla yaptığı açılar eşittir. Bu yüzden kişinin gözünden ve cismin tepesinden yere inen dikmelerle iki benzer dik üçgen oluşur: göz yüksekliği/kişinin aynaya uzaklığı = cismin boyu/cismin aynaya uzaklığı. Nehir genişliği gibi uzunluklarda ise kıyıda dik açılar kurulur ve ters açılı iki benzer dik üçgenden orantı yazılır.
Çözümlü örnekler
Örnek 1. Boyu 1,8 m olan bir kişi, 6 m yüksekliğindeki bir sokak lambasının direğinden 7 m uzakta duruyor. Kişinin gölgesi kaç metredir?
Çözüm. Gölgenin uzunluğuna s dersek lamba direği ile gölgenin ucu büyük dik üçgeni, kişi ile gölgenin ucu küçük dik üçgeni oluşturur. Benzerlikten 1,8/6 = s/(7 + s) yazılır. 6s = 12,6 + 1,8s, yani 4,2s = 12,6 ve s = 3 m bulunur.
Örnek 2. Göz yüksekliği 1,5 m olan bir öğrenci, yere koyduğu aynaya 2 m uzaklıktan bakınca bir ağacın tepesini görüyor. Ayna ile ağacın dibi arasındaki uzaklık 8 m'dir. Işınların aynayla yaptığı açılar eşit olduğuna göre ağacın boyu kaç metredir?
Çözüm. Gözden aynaya ve aynadan ağacın tepesine giden ışınlar yerle eşit açılar yapar. Öğrencinin gözünden ve ağacın tepesinden yere inen dikmelerle oluşan iki dik üçgen A.A. kuralıyla benzerdir. 1,5/2 = h/8 orantısından h = 6 m bulunur.
Örnek 3. Bir nehrin karşı kıyısındaki T ağacının tam karşısında, bu kıyıda A noktası vardır. Kıyı boyunca A'dan 30 m yürünerek B'ye, aynı yönde 10 m daha yürünerek C'ye varılıyor. C'den kıyıya dik olarak nehirden uzaklaşan yönde 8 m yürününce, B ve T ile aynı doğru üzerinde olan D noktasına ulaşılıyor. Nehrin genişliği kaç metredir?
Çözüm. TAB ve DCB üçgenlerinde A ve C'deki açılar dik, B'deki açılar ters açıdır; A.A. kuralıyla bu üçgenler benzerdir. |AT|/|CD| = |AB|/|BC| orantısından |AT| = 8·30/10 = 24 m bulunur. Nehrin genişliği 24 m'dir.
Sık yapılan hatalar
- Sokak lambası sorusunda ışınları paralel kabul edip boy/gölge oranını doğrudan kullanmak.
- Ayna sorusunda kişinin boyunu göz yüksekliği yerine kullanmak.
- Benzer üçgenlerde uzaklıkları yanlış eşleştirmek; her uzunluk kendi üçgenindeki karşılığıyla oranlanır.
- Güneşte aynı anda boy/gölge oranı bütün cisimler için aynıdır.
- Sokak lambasında iki benzer dik üçgen kur; gölge lambadan uzaklığa bağlıdır.
- Ayna sorusunda göz yüksekliği/aynaya uzaklık = cismin boyu/cismin aynaya uzaklığı.