Konu anlatımı
Bir üçgenin kenarına paralel çizilen doğru, üçgenin içinde ona benzer küçük bir üçgen oluşturur. Bu alt başlıkta bu durumdan çıkan orantıları ve paralel doğruların kendilerini kesen doğrular üzerinde ayırdığı parçalar arasındaki ilişkiyi, yani Thales teoremini göreceksin.
Paralel doğru ve benzer üçgen
ABC üçgeninde [BC] kenarına paralel bir doğru [AB] kenarını D'de, [AC] kenarını E'de kessin. ADE ve ABC üçgenlerinde A açısı ortaktır; ADE ve ABC açıları yöndeş açılar olduğu için eştir. A.A. kuralıyla ADE ∼ ABC olur ve |AD|/|AB| = |AE|/|AC| = |DE|/|BC| yazılır.
Parçaların oranı ve orta taban
Aynı oranlardan |AD|/|DB| = |AE|/|EC| de elde edilir; bir kenara paralel doğru öbür iki kenarı aynı oranda böler. Dikkat: |DE|/|BC| oranı |AD|/|DB| oranına değil, |AD|/|AB| oranına eşittir. |AD| = 2 ve |DB| = 3 ise |DE|/|BC| = 2/5 olur. D ve E kenarların orta noktalarıysa [DE] orta tabandır: DE ∥ BC ve |DE| = |BC|/2.
Thales teoremi
Paralel üç ya da daha fazla doğru, kendilerini kesen iki doğru üzerinde orantılı parçalar ayırır. d₁ ∥ d₂ ∥ d₃ doğrularını bir doğru A, B, C noktalarında, başka bir doğru D, E, F noktalarında keserse |AB|/|BC| = |DE|/|EF| olur. Thales'in Mısır piramitlerinin yüksekliğini gölgeleri yardımıyla, bu tür orantılarla ölçtüğü anlatılır.
Çözümlü örnekler
Örnek 1. ABC üçgeninde D noktası [AB], E noktası [AC] üzerindedir ve DE ∥ BC'dir. |AD| = 4 cm, |DB| = 6 cm, |AE| = 3 cm ve |BC| = 15 cm olduğuna göre |EC| ve |DE| kaçtır?
Çözüm. Paralel doğru kenarları aynı oranda böler: |AD|/|DB| = |AE|/|EC|, yani 4/6 = 3/|EC| ve |EC| = 4,5 cm bulunur. ADE ∼ ABC olduğundan |DE|/|BC| = |AD|/|AB| = 4/10 yazılır ve |DE| = 15·4/10 = 6 cm olur.
Örnek 2. Paralel üç doğru bir doğruyu A, B, C noktalarında, başka bir doğruyu D, E, F noktalarında kesiyor. |AB| = 6, |BC| = 9 ve |DF| = 20 birim olduğuna göre |DE| kaç birimdir?
Çözüm. Thales teoremine göre |DE|/|EF| = |AB|/|BC| = 6/9 = 2/3'tür. |DE| = 2k, |EF| = 3k ve 5k = 20 olduğundan k = 4 bulunur. |DE| = 8 birimdir.
Sık yapılan hatalar
- |DE|/|BC| oranını |AD|/|DB| oranına eşitlemek.
- Parçaları yanlış doğru üzerinde eşleştirmek; aynı iki paralel arasında kalan parçalar birbirine karşılık gelir.
- Orta tabanı karşı kenarın tamamına eşit sanmak; orta taban karşı kenarın yarısıdır.
- DE ∥ BC ise |AD|/|AB| = |AE|/|AC| = |DE|/|BC|.
- |AD|/|DB| = |AE|/|EC|; paralel doğru kenarları aynı oranda böler.
- Paralel doğrular kesen doğrular üzerinde orantılı parçalar ayırır.