Konu anlatımı
Yamuğun paralel iki tabanı, köşegenlerle birlikte benzer üçgenler oluşturur. Bu alt başlıkta köşegenlerin hangi oranda bölündüğünü, köşegenlerin kesişim noktasından geçen ve tabanlara paralel olan doğru parçasının uzunluğunu ve bu fikrin çapraz halat sorularına uygulanmasını göreceksin.
Köşegenlerin bölünmesi
ABCD yamuğunda AB ∥ CD, |AB| = a ve |CD| = c olsun; köşegenler E noktasında kesişsin. ABE ve CDE üçgenleri kelebek yapısındadır ve benzerdir: |AE|/|EC| = |BE|/|ED| = a/c. Yani köşegenler tabanların oranında bölünür. |AB| = 12 ve |CD| = 4 ise her köşegen 3 : 1 oranında bölünür; büyük parça büyük taban tarafındadır.
Kesişimden geçen paralel
E noktasından tabanlara paralel çizilen doğru parçası yan kenarları K ve L noktalarında kessin; K, [AD] üzerinde, L, [BC] üzerinde olsun. ADC üçgeninde KE ∥ DC olduğundan |KE|/|DC| = |AE|/|AC| = a/(a + c), yani |KE| = a·c/(a + c) olur. Benzer biçimde |EL| = a·c/(a + c) bulunur. E, [KL] doğru parçasının orta noktasıdır ve |KL| = 2ac/(a + c) olur. Bu uzunluk, yan kenarların orta noktalarını birleştiren orta tabandan, yani (a + c)/2'den farklıdır.
Çapraz halatlar
Düz bir zemine dik dikilmiş iki direğin boyları a ve b olsun; her direğin tepesinden öbür direğin dibine bir halat gerilsin. Halatların kesişim noktasının yerden yüksekliği h ise 1/h = 1/a + 1/b, yani h = a·b/(a + b) olur. Sonuç direkler arasındaki uzaklığa bağlı değildir. Bu, yamukta kesişim noktasından geçen paralelin yarısıyla aynı bağıntıdır.
Çözümlü örnekler
Örnek 1. ABCD yamuğunda AB ∥ CD, |AB| = 12 cm ve |CD| = 4 cm'dir. Köşegenler E noktasında kesişiyor ve |AC| = 20 cm'dir. |AE| kaç santimetredir? E'den tabanlara paralel çizilen ve yan kenarlar arasında kalan doğru parçası kaç santimetredir?
Çözüm. ABE ∼ CDE olduğundan |AE|/|EC| = 12/4 = 3'tür. |AE| = 3k, |EC| = k ve 4k = 20 olduğundan |AE| = 15 cm bulunur. Kesişimden geçen paralelin her yarısı 12·4/(12 + 4) = 3 cm'dir; toplam uzunluk 6 cm'dir. Orta taban ise (12 + 4)/2 = 8 cm olurdu.
Örnek 2. Boyları 6 m ve 3 m olan iki direk düz bir zemine dik olarak dikilmiştir. Her direğin tepesinden öbür direğin dibine birer halat geriliyor. Halatlar yerden kaç metre yükseklikte kesişir?
Çözüm. Kesişim noktasının yüksekliği h olsun ve bu noktadan yere inen dikme zemini, direklere uzaklıkları x ve y olan iki parçaya ayırsın. Benzer üçgenlerden h/6 = y/(x + y) ve h/3 = x/(x + y) yazılır. Taraf tarafa toplayınca h/6 + h/3 = 1, yani h·(1/6 + 1/3) = 1 ve h = 2 m bulunur. Sonuç direkler arasındaki uzaklığa bağlı değildir.
Sık yapılan hatalar
- Kesişimden geçen paraleli orta tabanla karıştırmak; ikisinin uzunlukları farklıdır.
- Köşegenlerin bölünme oranını ters yazmak; büyük taban tarafındaki parça büyüktür.
- Çapraz halat sorusunda direkler arasındaki uzaklığı gerekli sanmak.
- Yamukta köşegenler tabanların oranında bölünür.
- Kesişimden geçen paralelin uzunluğu 2ac/(a + c) olur ve E onun orta noktasıdır.
- Çapraz halatlarda kesişim yüksekliği için 1/h = 1/a + 1/b.