Konu anlatımı
Benzer üçgenler aynı biçime sahiptir ama büyüklükleri farklı olabilir. Bu alt başlıkta benzerliği gösteren kuralları, benzerlik oranını ve bu oranın kenarlar dışında hangi uzunluklara ve alana nasıl yansıdığını göreceksin.
Tanım ve oran
ABC ve DEF üçgenlerinde karşılıklı açılar eş ve karşılıklı kenarlar orantılıysa bu üçgenler benzerdir ve ABC ∼ DEF yazılır. |AB|/|DE| = |BC|/|EF| = |AC|/|DF| = k sayısına benzerlik oranı denir. k = 1 ise üçgenler eştir; yani eşlik, benzerliğin özel bir durumudur.
Benzerlik kuralları
Aşağıdaki kurallardan biri sağlanıyorsa iki üçgen benzerdir:
- A.A.: iki açı karşılıklı olarak eşse; üçüncü açılar kendiliğinden eş olur.
- K.A.K.: iki kenar orantılı ve bu kenarlar arasındaki açılar eşse.
- K.K.K.: üç kenar orantılıysa.
Yardımcı elemanlar, çevre ve alan
Benzer üçgenlerde karşılıklı yükseklikler, kenarortaylar ve açıortaylar da k oranındadır; çevrelerin oranı da k'dir. Alan iki uzunluğun çarpımıyla hesaplandığı için alanların oranı k²'dir. Benzerlik oranı 3/2 olan iki üçgende çevreler 3 : 2, alanlar 9 : 4 oranındadır.
K.A.K. ve K.K.K. adları eşlik kurallarıyla aynıdır ama benzerlikte kenarların eşit değil orantılı olması yeterlidir. Sorularda en sık kullanılan kural A.A. kuralıdır, çünkü paralel doğruların oluşturduğu yöndeş ve iç ters açılar, ortak açılar ve ters açılar kolayca görülür. Bir uzunluk oranını bulduğunda öbür bütün karşılıklı uzunlukların oranını da bulmuş olursun.
Çözümlü örnekler
Örnek 1. Kenarları 4, 6 ve 8 cm olan bir üçgen ile kenarları 10, 15 ve 20 cm olan bir üçgen benzer midir? Benzerse benzerlik oranı ve alanlarının oranı kaçtır?
Çözüm. Karşılıklı kenarlar küçükten büyüğe eşleştirilir: 4/10 = 6/15 = 8/20 = 2/5. Üç oran eşit olduğundan K.K.K. kuralıyla üçgenler benzerdir ve benzerlik oranı 2/5'tir. Alanların oranı bu oranın karesidir: 4/25.
Örnek 2. ABC ve DEF benzer üçgenlerinde |AB| = 6 cm ve buna karşılık gelen |DE| = 9 cm'dir. ABC üçgeninin [BC] kenarına ait yüksekliği 4 cm, alanı 20 cm²'dir. DEF üçgeninin karşılık gelen yüksekliği ve alanı kaçtır?
Çözüm. Benzerlik oranı |DE|/|AB| = 9/6 = 3/2'dir. Yükseklikler de bu oranda olduğundan DEF üçgeninin karşılık gelen yüksekliği 4·3/2 = 6 cm'dir. Alanlar k² = 9/4 oranında olduğundan DEF üçgeninin alanı 20·9/4 = 45 cm²'dir.
Sık yapılan hatalar
- Kenarları eşleştirirken sırayı karıştırmak; en kısa kenar en kısayla, en uzun kenar en uzunla eşleşir.
- Alanların oranını benzerlik oranına eşit sanmak.
- K.A.K. benzerliğinde eş açının orantılı kenarların arasında olup olmadığına bakmamak.
- Benzerlik kuralları: A.A., K.A.K., K.K.K.
- Uzunluklar k, alanlar k² oranındadır.
- Eşlik, benzerlik oranı 1 olan benzerliktir.