Konu anlatımı
Bir kare ya da dikdörtgen, bir kenarı üçgenin tabanı üzerinde ve üst köşeleri üçgenin öbür iki kenarında olacak biçimde yerleştirilirse karenin üst kenarı tabana paraleldir ve tepe ile birlikte küçük bir benzer üçgen oluşturur. Bu alt başlıkta bu benzerlikten karenin kenarını bulmayı göreceksin.
Tabana oturan kare
B ve C açıları dar olan ABC üçgeninde |BC| = a ve A'dan [BC] kenarına inen yükseklik h olsun. Bir kenarı [BC] üzerinde, öbür iki köşesi [AB] ve [AC] üzerinde olan karenin kenarı x olsun. Karenin üst kenarı [BC] kenarına paralel olduğundan tepedeki küçük üçgen ABC üçgenine benzerdir; küçük üçgenin yüksekliği h − x, tabanı x'tir. Benzerlikten x/a = (h − x)/h yazılır ve x = a·h/(a + h) bulunur.
Dikdörtgen
Kare yerine, tabandaki kenarı y ve yüksekliği x olan bir dikdörtgen yerleştirilirse aynı benzerlik y/a = (h − x)/h verir. Dikdörtgenin bir kenarı verilince öbürü bu orantıdan bulunur. Örneğin a = 12 ve h = 8 olan üçgende yüksekliği 2 olan dikdörtgenin tabandaki kenarı 12·6/8 = 9'dur.
Dik üçgenin köşesindeki kare
m(A) = 90° olan ABC üçgeninde bir köşesi A'da, karşı köşesi [BC] hipotenüsü üzerinde ve kenarları dik kenarlar boyunca uzanan bir kare düşün. Dik kenarlar b = |AC| ve c = |AB| ise karenin dışında kalan iki küçük dik üçgen ABC'ye benzerdir ve karenin kenarı b·c/(b + c) bulunur. Dik kenarları 6 ve 12 olan üçgende bu karenin kenarı 6·12/18 = 4 birimdir.
Çözümlü örnekler
Örnek 1. B ve C açıları dar olan ABC üçgeninde |BC| = 15 cm ve A'dan [BC] kenarına inen yükseklik 10 cm'dir. Bir kenarı [BC] üzerinde, öbür iki köşesi [AB] ve [AC] kenarları üzerinde olan karenin bir kenarı kaç santimetredir?
Çözüm. Karenin kenarı x olsun. Karenin üst kenarı tabana paralel olduğundan tepedeki küçük üçgen ABC üçgenine benzerdir. Küçük üçgenin tabanı x, yüksekliği 10 − x'tir: x/15 = (10 − x)/10. İçler dışlar çarpımıyla 10x = 150 − 15x, yani 25x = 150 ve x = 6 cm bulunur.
Örnek 2. ABC üçgeninde m(A) = 90°, |AB| = 12 cm ve |AC| = 6 cm'dir. Bir köşesi A'da, karşı köşesi [BC] üzerinde olan ve kenarları [AB] ile [AC] boyunca uzanan karenin alanı kaç cm²'dir?
Çözüm. Karenin kenarı x olsun. Karenin üstünde, C tarafında kalan küçük dik üçgen ABC'ye benzerdir; bu üçgenin [AC] boyunca uzanan dik kenarı 6 − x, öbür dik kenarı x'tir ve ABC'deki karşılıkları 6 ile 12'dir: (6 − x)/6 = x/12. Buradan 12 − 2x = x ve x = 4 cm bulunur. Karenin alanı 16 cm²'dir.
Sık yapılan hatalar
- Küçük üçgenin yüksekliğini h − x yerine h almak.
- Benzerlikte karenin kenarını tabanla, küçük üçgenin yüksekliğini büyük üçgenin yüksekliğiyle eşleştirmemek.
- Bağıntıyı ezberleyip a ile h'yi karıştırmak; benzerliği her seferinde kurmak daha güvenlidir.
- Tabana oturan karenin kenarı x = a·h/(a + h) olur.
- Karenin üst kenarı tabana paraleldir; tepedeki üçgen büyük üçgene benzerdir.
- Dik üçgenin dik köşesindeki karenin kenarı b·c/(b + c) olur.