Konu anlatımı
Dik üçgendeki tanımlar yalnızca dar açılar için geçerlidir. Birim çember, trigonometrik oranları 0° ile 180° arasındaki bütün açılara genişletir. Bu alt başlıkta birim çemberi, sinüs ve kosinüsün koordinatlarla ilişkisini ve geniş açıların değerlerini göreceksin.
Birim çember
Merkezi O(0, 0) ve yarıçapı 1 olan çembere birim çember denir. x ekseninin pozitif yönünden başlayıp saat yönünün tersine x açısı kadar dönen yarıçapın çember üzerindeki ucu P olsun. P'nin apsisi cos x, ordinatı sin x olarak tanımlanır. x dar açıysa P'den x eksenine inen dikmeyle oluşan dik üçgende hipotenüs 1 olduğu için bu tanım dik üçgendeki tanımla aynı sonucu verir.
Özel açılar
0° için P = (1, 0) olduğundan sin 0° = 0 ve cos 0° = 1'dir. 90° için P = (0, 1): sin 90° = 1 ve cos 90° = 0. 180° için P = (−1, 0): sin 180° = 0 ve cos 180° = −1. Tanjant sin x/cos x olduğundan tan 0° = tan 180° = 0'dır; cos 90° = 0 olduğu için tan 90° tanımsızdır.
Geniş açılar
x ile 180° − x açılarının birim çemberdeki noktaları y eksenine göre simetriktir. Bu yüzden sin(180° − x) = sin x ve cos(180° − x) = −cos x olur. Örneğin sin 150° = sin 30° = 1/2, cos 120° = −cos 60° = −1/2 ve cos 135° = −√2/2'dir. Geniş açılarda sinüs pozitif, kosinüs ve tanjant negatiftir: tan 120° = −√3.
Çözümlü örnekler
Örnek 1. sin 150° + cos 120° + tan 135° ifadesinin değeri kaçtır?
Çözüm. sin 150° = sin 30° = 1/2 ve cos 120° = −cos 60° = −1/2'dir. tan 135° = sin 135°/cos 135° = (√2/2)/(−√2/2) = −1 olur. Toplam 1/2 − 1/2 − 1 = −1'dir.
Örnek 2. Birim çember üzerindeki P noktası, x ekseninin pozitif yönüyle 120°'lik açı yapan yarıçapın ucudur. P'nin koordinatları nelerdir?
Çözüm. P'nin apsisi cos 120°, ordinatı sin 120° olur. cos 120° = −cos 60° = −1/2 ve sin 120° = sin 60° = √3/2'dir. P noktası (−1/2, √3/2) olur; bu nokta ikinci bölgededir ve bu bölgede apsis negatif, ordinat pozitiftir.
Sık yapılan hatalar
- Geniş açıların kosinüsünü pozitif almak.
- tan 90° için bir değer yazmak; tan 90° tanımsızdır.
- sin(180° − x) ile cos(180° − x) kurallarını karıştırmak.
- Birim çemberde P = (cos x, sin x).
- sin(180° − x) = sin x ve cos(180° − x) = −cos x.
- 0° ile 180° arasında sinüs negatif olmaz; geniş açılarda kosinüs ve tanjant negatiftir.