Konu anlatımı
Bir dik üçgende açı değişmedikçe kenarların oranları da değişmez. Bu sabit oranlara trigonometrik oranlar denir. Bu alt başlıkta dört oranın tanımını, bir oran verildiğinde öbürlerinin nasıl bulunduğunu ve oranlar arasındaki temel eşitlikleri göreceksin.
Tanımlar
Dik üçgende bir dar açı x olsun. x'in karşısındaki dik kenara karşı dik kenar, x'in kolu olan dik kenara komşu dik kenar denir. sin x = karşı/hipotenüs, cos x = komşu/hipotenüs, tan x = karşı/komşu ve cot x = komşu/karşı olarak tanımlanır. Benzer dik üçgenlerde bu oranlar aynı olduğu için yalnızca açıya bağlıdır. Dar açılarda sinüs ve kosinüs 0 ile 1 arasındadır.
Bir orandan öbürlerine
Bir oran verildiğinde bir dik üçgen çizip kenarları bu orana göre yazarsın, eksik kenarı Pisagor teoremiyle bulursun. sin x = 5/13 ise karşı dik kenar 5k, hipotenüs 13k ve komşu dik kenar 12k olur; buradan cos x = 12/13, tan x = 5/12 ve cot x = 12/5 bulunur.
Temel eşitlikler
Karşı kenar a, komşu kenar b ve hipotenüs c ise sin² x + cos² x = (a² + b²)/c² = 1 olur. Ayrıca tan x = sin x/cos x ve tan x·cot x = 1'dir. Bir dik üçgende iki dar açı tümler olduğu için birinin karşı kenarı öbürünün komşu kenarıdır: sin x = cos(90° − x) ve tan x = cot(90° − x). Örneğin sin 20° = cos 70°'dir.
Çözümlü örnekler
Örnek 1. x dar açı ve tan x = 3/4 olduğuna göre sin x + cos x toplamı kaçtır?
Çözüm. Karşı dik kenarı 3k, komşu dik kenarı 4k olan bir dik üçgen çizeriz. Hipotenüs √(9k² + 16k²) = 5k'dir. sin x = 3/5 ve cos x = 4/5 olduğundan toplam 7/5'tir.
Örnek 2. ABC üçgeninde m(C) = 90°, |AB| = 10 cm ve sin A = 0,6'dır. |BC|, |AC| ve tan B kaçtır?
Çözüm. sin A = |BC|/|AB| olduğundan |BC| = 10·0,6 = 6 cm'dir. Pisagor teoremiyle |AC| = √(100 − 36) = 8 cm bulunur. B açısının karşı dik kenarı [AC], komşu dik kenarı [BC] olduğundan tan B = 8/6 = 4/3'tür.
Örnek 3. x dar açı ve sin 25° = cos x olduğuna göre x kaç derecedir? tan 35°·tan 55° çarpımı kaçtır?
Çözüm. Tümler açılardan birinin sinüsü öbürünün kosinüsüne eşittir: sin 25° = cos 65°, yani x = 65°'dir. 55° ile 35° tümler olduğundan tan 55° = cot 35° olur. Çarpım tan 35°·cot 35° = 1'dir.
Sık yapılan hatalar
- Karşı ve komşu dik kenarları karıştırmak; komşu kenar açının kolu olan dik kenardır.
- Trigonometrik oranların üçgenin büyüklüğüne bağlı olduğunu sanmak.
- sin² x ifadesini sinüsün içindeki açının karesi sanmak; sin² x, (sin x)² demektir.
- sin = karşı/hipotenüs, cos = komşu/hipotenüs, tan = karşı/komşu, cot = komşu/karşı.
- sin² x + cos² x = 1 ve tan x·cot x = 1.
- Tümler açılarda sin x = cos(90° − x) ve tan x = cot(90° − x).