Konu anlatımı
Açıları 30°, 60°, 90° ve 45°, 45°, 90° olan dik üçgenlerde kenarlar sabit oranlardadır. Bu oranları bilmek, Pisagor teoremini her seferinde uygulamadan hızlıca sonuca ulaşmanı sağlar. Bu alt başlıkta iki özel üçgeni, oranların nereden geldiğini ve bu üçgenleri sorularda nasıl fark edeceğini göreceksin.
30°-60°-90° üçgeni
Kenarı 2 olan bir eşkenar üçgende bir yükseklik çizersen üçgen, açıları 30°, 60° ve 90° olan iki eş dik üçgene ayrılır. Bu dik üçgenin hipotenüsü 2, kısa dik kenarı 1 ve yüksekliği √(4 − 1) = √3'tür. Yani 30°'nin karşısındaki kenar k ise 60°'nin karşısındaki kenar k√3, hipotenüs 2k olur. Kısa kural: 30°'nin karşısındaki kenar hipotenüsün yarısıdır.
45°-45°-90° üçgeni
Kenarı 1 olan bir karenin köşegeni kareyi iki ikizkenar dik üçgene ayırır. Bu üçgenin dik kenarları 1, hipotenüsü √(1 + 1) = √2'dir. Yani dik kenarları k olan ikizkenar dik üçgenin hipotenüsü k√2, hipotenüsü h olanın dik kenarları h/√2 = h√2/2 olur.
Soruda fark etmek
Bir dik üçgende bir açı 30° ya da 60° ise 1 : √3 : 2, 45° ise 1 : 1 : √2 oranını hemen yaz. Hipotenüs bir dik kenarın iki katıysa üçgen 30°-60°-90° üçgenidir; iki dik kenar eşitse 45°-45°-90° üçgenidir. Dik açısı olmayan bir üçgende 30°, 45°, 60°, 120°, 135° ya da 150°'lik açılar varsa uygun bir yükseklik çizerek özel dik üçgenler elde edebilirsin.
Çözümlü örnekler
Örnek 1. ABC üçgeninde m(A) = 90°, m(B) = 30° ve |BC| = 12 cm'dir. |AC| ve |AB| kaçtır?
Çözüm. 30°'lik açının karşısındaki kenar [AC] kenarıdır ve hipotenüsün yarısına eşittir: |AC| = 6 cm. 60°'lik açının karşısındaki [AB] kenarı bunun √3 katıdır: |AB| = 6√3 cm. Kontrol: 36 + 108 = 144 = 12².
Örnek 2. ABC üçgeninde m(B) = 45°, m(C) = 30° ve |AC| = 8 cm'dir. A'dan [BC] kenarına inen yüksekliği ve |BC| uzunluğunu bulunuz.
Çözüm. A'dan [BC] kenarına inen yükseklik [AH] olsun; B ve C açıları dar olduğundan H, [BC] üzerindedir. AHC dik üçgeninde C'deki açı 30° olduğundan |AH| = |AC|/2 = 4 cm ve |HC| = 4√3 cm'dir. AHB üçgeni ikizkenar dik üçgendir: |BH| = |AH| = 4 cm. Buradan |BC| = 4 + 4√3 cm bulunur.
Sık yapılan hatalar
- √3 çarpanını yanlış kenara koymak; √3 katı olan kenar 60°'nin karşısındadır.
- 45°-45°-90° üçgeninde hipotenüsü dik kenarın iki katı sanmak; doğrusu √2 katıdır.
- Dik açısı olmayan bir üçgende özel oranları doğrudan kullanmak; önce bir yükseklik çizip dik üçgen oluşturmak gerekir.
- 30°-60°-90°: k, k√3, 2k.
- 45°-45°-90°: k, k, k√2.
- Özel açılar varsa uygun yüksekliği çizip özel dik üçgen oluştur.