Konu anlatımı
Trigonometrik oranlar, ölçmesi zor yükseklikleri ve uzaklıkları bir açı ile bir uzunluktan bulmanı sağlar. Bu alt başlıkta yükselme ve alçalma açılarını, iki gözlem noktasıyla kurulan soruları ve merdiven, ip, ağaç gibi günlük durumları göreceksin.
Yükselme ve alçalma açısı
Bir gözlemci kendisinden daha yüksekteki bir cisme bakıyorsa, yatay doğrultu ile bakış doğrultusu arasındaki açıya yükselme açısı denir; daha alçaktaki bir cisme bakıyorsa bu açıya alçalma açısı denir. Bir kulenin tepesinden yerdeki bir noktaya bakışın alçalma açısı, o noktadan kulenin tepesine bakışın yükselme açısına eşittir; iki açı, paralel iki yatay doğruyla oluşan iç ters açılardır.
İki gözlem noktası
Kulenin dibi C, tepesi T ve yüksekliği h olsun; A ve B noktaları C ile aynı doğru üzerinde ve aynı tarafta olsun. A'dan ve B'den tepenin yükselme açıları bilinirse iki dik üçgen ortak [TC] kenarıyla bağlanır: |AC| = h·cot(A'daki açı) ve |BC| = h·cot(B'deki açı) yazılır, fark |AB| uzunluğuna eşitlenir. Açılar 30° ve 60° ise ATB üçgeni ikizkenar olur ve çözüm daha da kısalır.
Merdiven, ip ve ağaç
Duvara dayalı merdiven, uçurtma ipi ya da gergin bir halat dik üçgenin hipotenüsüdür; yükseklik karşı, yerdeki uzaklık komşu dik kenardır. Merdiven kayarken uzunluğu değişmez; yalnızca dik kenarlar değişir. Rüzgârda kırılan bir ağaçta kırılan parça hipotenüs, ayakta kalan parça bir dik kenar, tepenin yere değdiği noktanın ağacın dibine uzaklığı öbür dik kenardır.
Çözümlü örnekler
Örnek 1. A, B ve C noktaları bir doğru üzerinde bu sırayla yer alıyor; C bir kulenin dibidir ve |AB| = 20 m'dir. Kulenin tepesi A'dan 45°'lik, B'den 60°'lik yükselme açısıyla görünüyor. Kulenin yüksekliği kaç metredir?
Çözüm. Kule yüksekliği h olsun. A'daki açı 45° olduğundan |AC| = h, B'deki açı 60° olduğundan |BC| = h/√3 = h√3/3'tür. |AC| − |BC| = 20 eşitliğinden h·(3 − √3)/3 = 20 ve h = 60/(3 − √3) bulunur. Paydayı eşlenikle genişletince h = 60·(3 + √3)/6 = 30 + 10√3 m olur; bu yaklaşık 47,3 m'dir.
Örnek 2. Boyu 16 m olan bir ağaç rüzgârda bir noktasından kırılıyor ve kırılan parçanın ucu ağacın dibinden 8 m uzakta yere değiyor. Ağaç yerden kaç metre yükseklikten kırılmıştır?
Çözüm. Ayakta kalan parça x olsun; kırılan parça 16 − x olur ve dik üçgenin hipotenüsüdür. Pisagor teoremiyle x² + 8² = (16 − x)² yazılır. Açınca x² + 64 = 256 − 32x + x², yani 32x = 192 ve x = 6 m bulunur. Kırılan parça 10 m'dir ve 6-8-10 üçlüsü sonucu doğrular.
Örnek 3. Bir çocuk, yerden 1 m yükseklikteki eliyle 40 m uzunluğundaki gergin ve düz bir uçurtma ipini tutuyor. İp yatayla 60°'lik açı yaptığına göre uçurtma yerden kaç metre yüksektedir?
Çözüm. İp hipotenüs, uçurtmanın el hizasından yüksekliği 60°'nin karşısındaki dik kenardır: 40·sin 60° = 40·√3/2 = 20√3 m. Elin yerden yüksekliği eklenince uçurtmanın yerden yüksekliği 20√3 + 1 m olur; bu yaklaşık 35,6 m'dir.
Sık yapılan hatalar
- Yükselme açısını düşey doğrultuyla ölçmek; bu açı yatay doğrultuyla ölçülür.
- İki gözlem noktalı sorularda noktaların kulenin aynı tarafında mı farklı tarafında mı olduğuna bakmamak.
- Göz ya da el yüksekliği verildiğinde onu sonuca eklemeyi unutmak.
- Alçalma açısı ile yükselme açısı iç ters açılardır ve eşittir.
- İki gözlemde yükseklik ortak kenardır; iki dik üçgeni onun üzerinden bağla.
- Merdiven ve ip hipotenüstür; kayarken ya da dönerken uzunlukları değişmez.