Konu anlatımı
Pisagor teoremi, dik üçgenin iki kenarı bilindiğinde üçüncüsünü bulmanı sağlar ve geometrinin en çok kullanılan teoremlerinden biridir. Bu alt başlıkta teoremi, sık karşılaşılan tam sayı üçlülerini ve gerçek hayattan uygulamaları göreceksin.
Teorem
m(A) = 90° olan ABC üçgeninde hipotenüs a = |BC|, dik kenarlar b = |AC| ve c = |AB| ise a² = b² + c² olur. Teoremin birçok gösterimi vardır; en bilineni, kenarı b + c olan bir karenin köşelerine dört eş dik üçgen yerleştirip ortada kalan ve kenarı a olan karenin alanını iki yoldan hesaplamaktır: (b + c)² = 4·(b·c/2) + a². Dik kenarları 5 ve 12 olan üçgende hipotenüs √(25 + 144) = 13'tür; hipotenüsü 10, bir dik kenarı 6 olan üçgende öbür dik kenar √(100 − 36) = 8'dir.
Pisagor üçlüleri
Kenarları tam sayı olan dik üçgenlerin kenar üçlülerine Pisagor üçlüleri denir: 3-4-5, 5-12-13, 8-15-17, 7-24-25 ve 20-21-29 bunlardan bazılarıdır. Bir üçlünün katları da Pisagor üçlüsüdür: 6-8-10, 9-12-15, 15-20-25. Soruda bu oranlardan birini tanırsan karekök almadan sonuca ulaşırsın.
Köşegenler ve uzaklıklar
Kenarı a olan karenin köşegeni a√2'dir; kenarları a ve b olan dikdörtgenin köşegeninin uzunluğu √(a² + b²) olur. Bir noktadan doğuya 6 km, sonra kuzeye 8 km giden biri başladığı noktadan 10 km uzaktadır. Duvara dayalı merdiven, gergin ip ve rampa gibi durumlarda da önce dik üçgeni belirler, sonra Pisagor teoremini yazarsın.
Çözümlü örnekler
Örnek 1. 10 m uzunluğundaki bir merdiven, alt ucu duvardan 6 m uzakta olacak biçimde dik bir duvara dayanmıştır. Merdivenin alt ucu duvardan 2 m daha uzaklaşacak biçimde kayarsa üst ucu kaç metre aşağı iner?
Çözüm. Başlangıçta merdiven, duvar ve zemin dik kenarları 6 ve h olan bir dik üçgen oluşturur: h = √(100 − 36) = 8 m. Alt uç duvardan 8 m uzaklaşınca üst ucun yüksekliği √(100 − 64) = 6 m olur. Üst uç 8 − 6 = 2 m aşağı iner. İki durumda da 6-8-10 üçlüsü vardır; yalnızca dik kenarların yeri değişmiştir.
Örnek 2. Bir dikdörtgenin kenarları arasındaki fark 7 cm, köşegeni 13 cm'dir. Dikdörtgenin çevresi kaç santimetredir?
Çözüm. Kısa kenar x ise uzun kenar x + 7'dir ve köşegen bir dik üçgenin hipotenüsüdür: x² + (x + 7)² = 169. Düzenleyince x² + 7x − 60 = 0, yani (x + 12)(x − 5) = 0 ve x = 5 bulunur. Kenarlar 5 ve 12 cm'dir; 5-12-13 üçlüsü bunu doğrular. Çevre 2·(5 + 12) = 34 cm'dir.
Sık yapılan hatalar
- Hipotenüsü belirlemeden teoremi yazmak; hipotenüs dik açının karşısındaki en uzun kenardır.
- √(a² + b²) ifadesini a + b sanmak.
- Pisagor üçlülerinin katlarını tanımamak: 9-12-15 de bir dik üçgenin kenarlarıdır.
- Hipotenüsün karesi dik kenarların kareleri toplamıdır.
- 3-4-5, 5-12-13, 8-15-17, 7-24-25 ve katları sık kullanılır.
- Kenarı a olan karenin köşegeni a√2'dir.