Konu anlatımı
30°, 45° ve 60°'nin trigonometrik oranları özel dik üçgenlerden kolayca elde edilir ve sorularda çok sık kullanılır. Bu alt başlıkta bu değerlerin nereden geldiğini, akılda tutmanın kısa yolunu ve bu değerlerle ifade hesaplamayı göreceksin.
30° ve 60°
Kenarları 1, √3 ve 2 olan 30°-60°-90° üçgeninde 30°'nin karşısındaki kenar 1, komşusu √3'tür. Buradan sin 30° = 1/2, cos 30° = √3/2, tan 30° = 1/√3 = √3/3 ve cot 30° = √3 bulunur. 60° için karşı ve komşu kenarlar yer değiştirir: sin 60° = √3/2, cos 60° = 1/2, tan 60° = √3 ve cot 60° = √3/3.
45°
Dik kenarları 1, hipotenüsü √2 olan ikizkenar dik üçgende iki dar açı da 45°'dir. Karşı ve komşu kenar eşit olduğundan sin 45° = cos 45° = 1/√2 = √2/2 ve tan 45° = cot 45° = 1'dir.
Akılda tutma
Sinüs değerleri 30°, 45° ve 60° için sırasıyla √1/2, √2/2 ve √3/2 biçiminde artar; kosinüs değerleri aynı sayıların tersten sıralanmasıdır. Dar açılarda açı büyüdükçe sinüs ve tanjant artar, kosinüs ve kotanjant azalır. Tanjantı sinüsün kosinüse bölümü olarak da hesaplayabilirsin: tan 60° = (√3/2)/(1/2) = √3.
Çözümlü örnekler
Örnek 1. sin 30° + cos 60° + tan 45° ifadesinin değeri kaçtır?
Çözüm. Özel açıların değerlerinden sin 30° = 1/2, cos 60° = 1/2 ve tan 45° = 1'dir. Toplam 1/2 + 1/2 + 1 = 2 olur. sin 30° ile cos 60° değerlerinin eşit olması, 30° ile 60°'nin tümler açılar olmasından kaynaklanır.
Örnek 2. 2·sin 60°·cos 30° − tan² 60° ifadesinin değeri kaçtır?
Çözüm. sin 60° = cos 30° = √3/2 olduğundan 2·(√3/2)·(√3/2) = 2·3/4 = 3/2 olur. tan 60° = √3 olduğundan tan² 60° = 3'tür. Sonuç 3/2 − 3 = −3/2'dir.
Örnek 3. Uzunluğu 8 m olan bir rampa yatayla 30°'lik açı yapıyor. Rampanın en yüksek noktası yerden kaç metre yüksektedir? Rampanın yatay uzunluğu kaç metredir?
Çözüm. Rampa, yükseklik ve yatay uzunluk bir dik üçgen oluşturur; rampa hipotenüstür. Yükseklik 30°'nin karşısındadır: 8·sin 30° = 4 m. Yatay uzunluk 8·cos 30° = 8·√3/2 = 4√3 m'dir; bu yaklaşık 6,93 m eder.
Sık yapılan hatalar
- sin 30° ile sin 60° değerlerini karıştırmak; sin 30° = 1/2'dir.
- tan 30° değerini √3 sanmak; tan 30° = √3/3, tan 60° = √3'tür.
- tan² 60° ifadesini açının karesinin tanjantı sanmak; tan² 60° = (tan 60°)² = 3'tür.
- sin 30° = cos 60° = 1/2; sin 60° = cos 30° = √3/2.
- sin 45° = cos 45° = √2/2; tan 45° = 1.
- tan 30° = √3/3, tan 60° = √3.