TYT GEOMETRİ · DİK ÜÇGEN VE TRİGONOMETRİK ORANLAR

Öklid Bağıntıları

Hipotenüse inen yükseklikle oluşan benzer üçgenler, |AH|² = |BH|·|HC|, dik kenarların karesi bağıntıları ve |AH|·|BC| = |AB|·|AC| eşitliği.

36özgün soru

%8,6Geometri havuzundaki payı

%100çözüm açıklamalı

Ücretsiz hesap açİlk 3 sınav ücretsiz · kart bilgisi istemiyoruz

sıradaki alt başlıklarÖzel Dik Üçgenler Dar Açıların Trigonometrik Oranları

Konu anlatımı

Dik üçgende dik açının köşesinden hipotenüse bir yükseklik çizildiğinde birbirine benzer üç dik üçgen oluşur. Bu benzerliklerden çıkan Öklid bağıntıları, hipotenüs üzerindeki parçalarla kenarlar ve yükseklik arasında kısa ilişkiler kurar. Bu alt başlıkta bu bağıntıları ve kullanımlarını göreceksin.

Yükseklik bağıntısı

m(A) = 90° olan ABC üçgeninde [AH] hipotenüse inen yükseklik olsun. ABH ve CAH dik üçgenleri benzerdir: B açısı ile CAH açısı eştir, çünkü ikisi de C açısının tümleridir. Bu benzerlikte [BH] kenarı [AH] kenarına, [AH] kenarı [HC] kenarına karşılık gelir; buradan |BH|/|AH| = |AH|/|HC|, yani |AH|² = |BH|·|HC| bulunur. |BH| = 4 ve |HC| = 9 ise |AH| = 6 olur.

Dik kenar bağıntıları

ABH ile CBA üçgenleri de benzerdir, çünkü B açısı ortaktır ve ikisinde de birer dik açı vardır. Buradan |AB|² = |BH|·|BC| bulunur; benzer biçimde |AC|² = |CH|·|CB| olur. Yani bir dik kenarın karesi, hipotenüs üzerinde kendisine komşu olan parça ile hipotenüsün çarpımına eşittir.

Alan bağıntısı

Dik üçgenin alanı hem dik kenarlarla hem de hipotenüs ve yüksekliğiyle yazılabilir: |AB|·|AC|/2 = |BC|·|AH|/2. Bu yüzden |AH| = |AB|·|AC|/|BC| olur. Dik kenarları 6 ve 8 olan üçgende hipotenüs 10 ve hipotenüse ait yükseklik 6·8/10 = 4,8'dir.

Çözümlü örnekler

Örnek 1. m(A) = 90° olan ABC üçgeninde [AH] hipotenüse inen yüksekliktir. |BH| = 3 cm ve |HC| = 12 cm olduğuna göre |AH|, |AB| ve |AC| kaçtır?

Çözüm. |AH|² = 3·12 = 36 olduğundan |AH| = 6 cm'dir. |AB|² = |BH|·|BC| = 3·15 = 45, yani |AB| = 3√5 cm; |AC|² = |CH|·|CB| = 12·15 = 180, yani |AC| = 6√5 cm bulunur. Kontrol: 45 + 180 = 225 = 15².

Örnek 2. Dik kenarları 9 cm ve 12 cm olan bir dik üçgende hipotenüse inen yükseklik, hipotenüsü hangi uzunluklarda iki parçaya ayırır? Yükseklik kaç santimetredir?

Çözüm. Hipotenüs 15 cm'dir. Dik kenar bağıntısından 9 cm'lik kenara komşu parça 81/15 = 5,4 cm, 12 cm'lik kenara komşu parça 144/15 = 9,6 cm'dir. Yükseklik 9·12/15 = 7,2 cm'dir; 7,2² = 5,4·9,6 = 51,84 eşitliği sonucu doğrular.