Konu anlatımı
Üçgenin alanını bulmanın en temel yolu bir kenarı taban seçip o kenara ait yüksekliği kullanmaktır. Bu alt başlıkta bu bağıntıyı, yüksekliğin farklı üçgen türlerinde nereye indiğini ve alanı iki farklı tabanla yazarak bilinmeyen bir yüksekliği bulmayı göreceksin.
Bağıntı
Bir üçgenin alanı, bir kenarı ile o kenara ait yüksekliğin çarpımının yarısıdır. ABC üçgeninde A'dan [BC] kenarına inen yükseklik [AH] ise A(ABC) = |BC|·|AH|/2 olur. Bir üçgen, tabanı ve yüksekliği kendisininkiyle aynı olan bir dikdörtgenin yarısı kadar yer kaplar; ikiye bölmenin nedeni budur. Tabanı 10 cm, yüksekliği 7 cm olan üçgenin alanı 35 cm²'dir.
Yüksekliğin yeri
Dar açılı üçgende üç yükseklik de üçgenin içindedir. Dik üçgende dik kenarlar birbirinin yüksekliğidir; bu yüzden alan dik kenarların çarpımının yarısıdır. Geniş açılı üçgende geniş açıya komşu kenarlara ait yükseklikler bu kenarların uzantılarına iner; alan bağıntısı yine aynıdır, yalnızca yükseklik üçgenin dışında kalır.
İki farklı taban
Her kenar taban seçilebildiği için bir kenar ile ona ait yüksekliğin çarpımı, hangi kenar seçilirse seçilsin aynıdır. Bu yüzden bir yükseklik bilinmiyorsa alanı bilinen bir taban ve yükseklikle hesaplar, sonra iki katını öbür kenara bölersin. Dik kenarları 6 ve 8 olan dik üçgende hipotenüs 10'dur ve hipotenüse ait yükseklik 6·8/10 = 4,8'dir.
Çözümlü örnekler
Örnek 1. ABC üçgeninde |BC| = 14 cm, A'dan [BC] kenarına inen yükseklik 12 cm ve |AC| = 15 cm'dir. B'den AC doğrusuna inen yükseklik kaç santimetredir?
Çözüm. Alan [BC] tabanıyla 14·12/2 = 84 cm²'dir. Aynı alanı [AC] tabanıyla yazarsak 15·h/2 = 84 olur ve h = 168/15 = 11,2 cm bulunur. Alan hangi taban seçilirse seçilsin aynı olduğu için yükseklik ayağının yerini bilmek gerekmez.
Örnek 2. ABCD dikdörtgeninde |AB| = 12 cm ve |BC| = 8 cm'dir. [CD] kenarı üzerinde bir E noktası alınıyor. ABE üçgeninin alanı kaç cm²'dir?
Çözüm. ABE üçgeninin tabanı [AB], yüksekliği E'nin AB doğrusuna uzaklığıdır. E, [CD] üzerinde olduğu için bu uzaklık dikdörtgenin öbür kenarına, yani 8 cm'ye eşittir. Alan 12·8/2 = 48 cm²'dir; bu, dikdörtgenin alanının yarısıdır ve E'nin [CD] üzerindeki yeri sonucu değiştirmez.
Sık yapılan hatalar
- Alanı taban ile yüksekliğin çarpımı olarak yazıp ikiye bölmeyi unutmak.
- Geniş açılı üçgende yüksekliği üçgenin içinde aramak.
- Eğik bir kenarı yükseklik sanmak; yükseklik tabana diktir.
- Alan = taban·yükseklik/2.
- Dik üçgende alan, dik kenarların çarpımının yarısıdır.
- Bir yüksekliği bulmak için alanı başka bir taban ve yükseklikle yaz.