Konu anlatımı
Birçok alan sorusunda alanlar hesaplanmaz, oranlanır. Bu alt başlıkta iki üçgenin yüksekliği ya da tabanı ortaksa alanlarının nasıl oranlandığını ve paralel doğrular arasındaki üçgenlerin alanlarını göreceksin.
Ortak yükseklik
D noktası ABC üçgeninin [BC] kenarı üzerinde olsun. ABD ve ADC üçgenlerinin A'dan BC doğrusuna inen yükseklikleri aynıdır. Bu yüzden A(ABD)/A(ADC) = |BD|/|DC| olur. |BD| = 2 ve |DC| = 3 ise alanlar 2 : 3 oranındadır; ABC üçgeninin alanı 40 ise A(ABD) = 16 ve A(ADC) = 24'tür.
Ortak taban
Tabanları aynı olan üçgenlerin alanları yükseklikleriyle orantılıdır. ABC ve DBC üçgenleri [BC] kenarını paylaşıyorsa alanlarının oranı, A ve D noktalarının BC doğrusuna uzaklıklarının oranına eşittir. AD doğrusu BC doğrusunu E noktasında kesiyorsa bu uzaklıkların oranı |AE|/|DE| oranına da eşittir, çünkü yükseklikler benzer dik üçgenlerin kenarlarıdır.
Paraleller arasındaki üçgenler
d₁ ∥ d₂ olsun ve [BC] kenarı d₂ üzerinde bulunsun. Tepesi d₁ üzerinde olan bütün BC tabanlı üçgenlerin yükseklikleri iki paralel arasındaki uzaklığa eşittir; bu yüzden alanları eşittir. Bu fikir yamukta da kullanılır: ABCD yamuğunda AB ∥ CD ise ABC ve ABD üçgenlerinin alanları eşittir.
Çözümlü örnekler
Örnek 1. ABC üçgeninde D ve E noktaları [BC] üzerindedir ve |BD| = |DE| = |EC|'dir. A(ABC) = 45 cm² olduğuna göre ADE üçgeninin alanı kaçtır? F noktası [AE] kenarının orta noktası ise DEF üçgeninin alanı kaçtır?
Çözüm. ABD, ADE ve AEC üçgenlerinin yükseklikleri ortak ve tabanları eşit olduğundan alanları eşittir: ADE üçgeninin alanı 45/3 = 15 cm²'dir. ADE üçgeninde [DF] kenarortaydır ve alanı ikiye böler. DEF üçgeninin alanı 15/2 = 7,5 cm²'dir.
Örnek 2. ABCD yamuğunda AB ∥ CD'dir ve köşegenler E noktasında kesişiyor. AED üçgeninin alanı 12 cm² olduğuna göre BEC üçgeninin alanı kaç cm²'dir?
Çözüm. ABD ve ABC üçgenlerinin tabanı [AB] ortaktır; D ve C, AB doğrusuna paralel olan aynı doğru üzerinde olduğu için yükseklikleri ve alanları eşittir. İki alandan ortak parça olan ABE üçgeninin alanı çıkarılınca AED ve BEC üçgenlerinin alanları eşit kalır: 12 cm².
Sık yapılan hatalar
- Tabanları aynı doğru üzerinde olmayan üçgenlere ortak yükseklik kuralını uygulamak.
- Ortak tabanlı üçgenlerde yükseklik yerine yan kenarları oranlamak.
- Paraleller arasındaki üçgenlerde tepe noktası değişince alanın da değiştiğini sanmak.
- Ortak yükseklikte alanlar tabanlarla orantılıdır.
- Ortak tabanda alanlar yüksekliklerle orantılıdır.
- Tabanı ortak, tepesi tabana paralel bir doğru üzerinde olan üçgenlerin alanları eşittir.