Konu anlatımı
Bir üçgenin yüksekliği bilinmese de iki kenarı ve bu kenarlar arasındaki açı biliniyorsa alanı hesaplanabilir. Bu alt başlıkta bu bağıntıyı, nereden geldiğini ve özel açılarla nasıl kullanıldığını göreceksin.
Bağıntı
ABC üçgeninde C'den AB doğrusuna inen yükseklik [CH] olsun. A açısı dar ise ACH dik üçgeninde |CH| = |AC|·sin A olur; A açısı geniş ise aynı yükseklik |AC|·sin(180° − A) olur ve bu da sin A'ya eşittir. Alan |AB|·|CH|/2 olduğundan A(ABC) = ½·|AB|·|AC|·sin A bulunur. Kısaca alan, iki kenar ile aralarındaki açının sinüsünün çarpımının yarısıdır.
Özel ve geniş açılar
Aradaki açı 30° ise alan ½·b·c·½ = b·c/4, 45° ise b·c·√2/4, 60° ise b·c·√3/4 olur. Açı geniş ise sin(180° − x) = sin x olduğundan 150°'lik açı 30°'lik açıyla, 135°'lik açı 45°'lik açıyla, 120°'lik açı 60°'lik açıyla aynı alanı verir. Örneğin kenarları 8 ve 10, aradaki açı 150° olan üçgenin alanı ½·8·10·½ = 20'dir.
En büyük alan
İki kenarı b ve c olarak sabit tutulan üçgenlerde alan, aradaki açının sinüsüyle değişir. Sinüs en büyük değeri olan 1'i 90°'de aldığı için en büyük alan b·c/2'dir ve aradaki açı dik olduğunda elde edilir. Bu yüzden iki kenarı 6 ve 8 olan bir üçgenin alanı 24'ten büyük olamaz; bir soruda bundan büyük bir alan verilmişse böyle bir üçgen yoktur.
Çözümlü örnekler
Örnek 1. ABC üçgeninde |AB| = 6 cm, |AC| = 8 cm ve m(A) = 30°'dir. A(ABC) kaç cm²'dir?
Çözüm. İki kenar ve aradaki açı bilindiği için A(ABC) = ½·|AB|·|AC|·sin A yazarız: ½·6·8·sin 30° = ½·6·8·½ = 12 cm². C'den AB doğrusuna inen yükseklik 8·sin 30° = 4 cm olduğundan taban ve yükseklikle de 6·4/2 = 12 bulunur.
Örnek 2. ABC üçgeninde |AB| = 10 cm, |AC| = 12 cm ve A(ABC) = 30√3 cm²'dir. A açısı geniş olduğuna göre m(A) kaç derecedir?
Çözüm. ½·10·12·sin A = 30√3 eşitliğinden 60·sin A = 30√3 ve sin A = √3/2 bulunur. 0° ile 180° arasında sinüsü √3/2 olan açılar 60° ve 120°'dir. A açısı geniş olduğundan m(A) = 120°'dir.
Sık yapılan hatalar
- Verilen açının iki kenarın arasında olup olmadığına bakmamak; bağıntı yalnızca aradaki açıyla kurulur.
- Geniş açının sinüsünü negatif almak; 0° ile 180° arasındaki açıların sinüsü negatif değildir.
- Alandan açı bulurken sinüsü aynı olan iki açıdan birini unutmak.
- A(ABC) = ½·|AB|·|AC|·sin A.
- sin(180° − x) = sin x; 30° ile 150°'lik açılar aynı alanı verir.
- İki kenarı sabit üçgenlerde en büyük alan, aradaki açı 90° iken elde edilir.