Konu anlatımı
Bir açıyı paylaşan iki üçgenin alanlarını karşılaştırmak için yüksekliğe gerek yoktur; ½·b·c·sin A bağıntısı doğrudan bir oran verir. Bu alt başlıkta bu oranı ve kenarlar üzerinde alınan noktalarla oluşan üçgenlerin alanlarını göreceksin.
Oran
ABC üçgeninde D noktası [AB], E noktası [AC] üzerinde olsun. ADE ve ABC üçgenlerinde A açısı ortaktır. İki alanı ½·kenar·kenar·sin A biçiminde yazıp oranlarsan sin A sadeleşir: A(ADE)/A(ABC) = (|AD|·|AE|)/(|AB|·|AC|). Bu oran, [DE] kenarı [BC] kenarına paralel olmasa da geçerlidir.
Kenarlar üzerindeki noktalar
|AD| = |AB|/3 ve |AE| = |AC|/2 ise ADE üçgeninin alanı ABC üçgeninin alanının (1/3)·(1/2) = 1/6'sıdır. Üç kenarın her biri üzerinde birer nokta alınıp oluşan iç üçgenin alanı soruluyorsa köşelerdeki üç üçgenin alanları bu yolla bulunur ve büyük üçgenin alanından çıkarılır.
Uzatılan kenarlar
Ortak açı, kenarların uzantılarıyla da oluşabilir. AB kenarı B'den öteye uzatılıp |BD| = |AB| olacak biçimde D noktası alınırsa |AD| = 2·|AB| olur. ADC ve ABC üçgenleri A açısını paylaştığı için alanlarının oranı 2'dir. İki açı ters açı ya da bütünler açı olduğunda da sinüsleri eşit olduğundan aynı oran yazılabilir.
Çözümlü örnekler
Örnek 1. ABC üçgeninde D noktası [AB] üzerinde ve |AD| = 2·|DB|, E noktası [AC] üzerinde ve |AE| = |EC|'dir. A(ABC) = 36 cm² olduğuna göre ADE üçgeninin ve BDEC dörtgeninin alanları kaçtır?
Çözüm. |AD| = 2·|DB| ise |AD|/|AB| = 2/3, |AE| = |EC| ise |AE|/|AC| = 1/2'dir. ADE ve ABC üçgenleri A açısını paylaştığı için alanlar oranı (2/3)·(1/2) = 1/3'tür. ADE üçgeninin alanı 36/3 = 12 cm², BDEC dörtgeninin alanı 36 − 12 = 24 cm²'dir.
Örnek 2. ABC üçgeninin alanı 60 cm²'dir. D, E ve F noktaları sırasıyla [AB], [BC] ve [CA] kenarları üzerindedir ve |AD| = |AB|/3, |BE| = |BC|/3, |CF| = |CA|/3'tür. DEF üçgeninin alanı kaç cm²'dir?
Çözüm. Köşelerdeki üç üçgenin alanlarını ortak açı oranıyla buluruz. ADF üçgeninde |AD|/|AB| = 1/3 ve |AF|/|AC| = 2/3 olduğundan alan, ABC üçgeninin alanının 2/9'udur. Aynı biçimde BED ve CFE üçgenlerinin alanları da 2/9'dur. Üçünün toplamı 6/9 = 2/3 olduğundan DEF üçgeninin alanı 60·1/3 = 20 cm²'dir.
Sık yapılan hatalar
- Yalnızca bir kenarın oranını alıp alan oranı sanmak; ortak açıyı oluşturan iki kenarın oranları çarpılır.
- Oranın yalnızca DE ∥ BC durumunda geçerli olduğunu sanmak.
- Kenar üzerindeki noktada parçaları karıştırmak: |AD| = 2·|DB| ise |AD|/|AB| = 2/3'tür, 2 değildir.
- A(ADE)/A(ABC) = (|AD|·|AE|)/(|AB|·|AC|).
- Bağıntı, ortak açı uzantılarla, ters ya da bütünler açılarla oluşsa da geçerlidir.
- İç üçgenin alanı için köşe üçgenlerini bulup büyük alandan çıkar.