Konu anlatımı
Bir üçgenin içine çizilen doğru parçaları onu birçok bölgeye ayırır; bu bölgelerin bazılarının alanları verilip başkaları sorulur. Bu alt başlıkta bu tür sorularda ortak yükseklik ve benzerlik fikirlerini adım adım kullanmayı göreceksin.
Ortak yüksekliği zincirleme kullanmak
Bir köşeden karşı kenara çizilen doğru parçalarının oluşturduğu bölgelerde, ortak yükseklikli üçgen çiftleri ara. Tabanları aynı doğru üzerinde ve tepeleri aynı nokta olan üçgenlerin alanları tabanlarla orantılıdır. Bu oranları birleştirip bilinmeyen alanlara harf vererek denklem kurarsın.
Dörtgende köşegenler
Dışbükey bir ABCD dörtgeninde köşegenler E noktasında kesişsin ve ABE, BCE, CDE ve DAE üçgenlerinin alanları sırasıyla S₁, S₂, S₃ ve S₄ olsun. B'den ve D'den AC doğrusuna inen yükseklikler sayesinde S₁/S₂ = |AE|/|EC| = S₄/S₃ yazılır; buradan S₁·S₃ = S₂·S₄ bulunur. Yani karşılıklı üçgenlerin alanları çarpımı eşittir.
İç noktadan paraleller
Üçgenin içindeki bir noktadan kenarlara paraleller çizilince noktanın çevresinde, büyük üçgene benzer üç küçük üçgen oluşur. Bu üç üçgenin benzerlik oranlarının toplamı 1'dir; bu yüzden alanları S₁, S₂ ve S₃ ise büyük üçgenin alanı (√S₁ + √S₂ + √S₃)² olur. Oranların toplamının neden 1 olduğunu, küçük üçgenlerin bir kenara paralel kenarlarını yan yana koyup o kenarı tamamladıklarını görerek anlayabilirsin.
Çözümlü örnekler
Örnek 1. Dışbükey ABCD dörtgeninde köşegenler E noktasında kesişiyor. ABE, BCE ve CDE üçgenlerinin alanları sırasıyla 6 cm², 9 cm² ve 12 cm²'dir. DAE üçgeninin alanı kaç cm²'dir?
Çözüm. ABE ve BCE üçgenlerinin B'den AC doğrusuna inen yükseklikleri ortaktır: |AE|/|EC| = 6/9 = 2/3. DAE ve CDE üçgenlerinin D'den inen yükseklikleri de ortaktır; DAE üçgeninin alanı 12·2/3 = 8 cm² olur. Kısa yol olarak karşılıklı alanların çarpımı da kullanılabilir: 6·12 = 9·8.
Örnek 2. ABC üçgeninde D noktası [BC] üzerinde ve |BD| : |DC| = 1 : 2, E noktası [AD] üzerinde ve |AE| : |ED| = 3 : 1'dir. A(ABC) = 48 cm² olduğuna göre BED üçgeninin alanı kaç cm²'dir?
Çözüm. ABD ve ADC üçgenleri A'dan inen yüksekliği paylaşır: A(ABD) = 48·1/3 = 16 cm². ABD üçgeninde ABE ve BED üçgenlerinin B'den AD doğrusuna inen yükseklikleri ortaktır; alanları |AE| : |ED| = 3 : 1 oranındadır. BED üçgeninin alanı 16·1/4 = 4 cm²'dir.
Örnek 3. ABC üçgeninin içindeki bir P noktasından kenarlara paraleller çiziliyor. P'nin çevresinde oluşan üç küçük üçgenin alanları 4 cm², 9 cm² ve 16 cm²'dir. ABC üçgeninin alanı kaç cm²'dir?
Çözüm. Küçük üçgenlerin her biri ABC üçgenine benzerdir ve benzerlik oranları alanların kareköklerinin oranıdır. Bu üç oranın toplamı 1 olduğundan ABC üçgeninin alanının karekökü 2 + 3 + 4 = 9 ve alanı 81 cm² bulunur. Kontrol: oranlar 2/9, 3/9 ve 4/9'dur ve toplamları 1'dir.
Sık yapılan hatalar
- Ortak yüksekliği olmayan üçgenlerin alanlarını tabanlarla oranlamak.
- Dörtgende S₁·S₃ = S₂·S₄ bağıntısında komşu üçgenleri çarpmak; çarpılanlar karşılıklı üçgenlerdir.
- Bilinmeyen alanlara harf vermeden tahminle ilerlemek.
- Aynı doğru üzerinde tabanı ve ortak tepesi olan üçgenlerin alanları tabanlarla orantılıdır.
- Dörtgende köşegenlerin ayırdığı karşılıklı üçgenlerin alanları çarpımı eşittir.
- İç noktadan çizilen paralellerde küçük alanların kareköklerinin toplamı büyük alanın kareköküdür.