Konu anlatımı
Bir ifadenin kuvveti ya da kökü alındığında ortaya iç içe iki fonksiyon çıkar. Bu alt başlıkta bileşke fonksiyonun türevini veren zincir kuralını, kuvvet ve kök içeren ifadelere uygulanışını, değerlerle verilen fonksiyonları ve f(2x − 1) gibi eşitliklerin iki tarafının türevini almayı göreceksin.
Kural
h(x) = f(g(x)) bileşkesinde g iç fonksiyon, f dış fonksiyondur. g fonksiyonu x noktasında, f fonksiyonu g(x) noktasında türevliyse h′(x) = f′(g(x))·g′(x) olur. Sözle: dış fonksiyonun türevi alınır ve iç fonksiyon olduğu gibi yerine yazılır, sonra iç fonksiyonun türeviyle çarpılır. En sık kullanılan biçimi kuvvettir: [g(x)]ⁿ ifadesinin türevi n·[g(x)]ⁿ⁻¹·g′(x) olur.
Kuvvet ve kök içindeki ifadeler
(3x + 2)⁴ ifadesinde dış fonksiyon dördüncü kuvvet, iç fonksiyon 3x + 2 olur; türev 4·(3x + 2)³·3 = 12(3x + 2)³ bulunur. √(x² + 9) ifadesinde dış fonksiyon kareköktür: türev (1/(2√(x² + 9)))·2x = x/√(x² + 9) olur. Paydadaki kuvvetler negatif üsle yazılır: 1/(x² + 1)³ = (x² + 1)⁻³ olduğundan türevi −3·(x² + 1)⁻⁴·2x = −6x/(x² + 1)⁴ olur.
Değerlerle ve eşitliklerle verilen fonksiyonlar
h(x) = f(g(x)) için g(1) = 3, g′(1) = 2 ve f′(3) = −4 verilmişse h′(1) = f′(g(1))·g′(1) = f′(3)·2 = −8 olur; f fonksiyonunun türevi 1 noktasında değil, g(1) = 3 noktasında alınır. İçeride x² gibi belli bir ifade varsa iç türev açıkça yazılır: f(x²) ifadesinin türevi 2x·f′(x²) olur.
f(2x − 1) = x³ + x gibi bir eşitlik her x için doğruysa iki tarafın türevi alınabilir. Sol tarafın türevi zincir kuralıyla 2·f′(2x − 1), sağ tarafın türevi 3x² + 1 olur. İstenen türev değeri için içteki ifade o sayıya eşitlenir.
Çözümlü örnekler
Örnek 1. f(x) = (x² − 3x + 1)⁵ olduğuna göre f′(1) kaçtır?
Çözüm. Zincir kuralıyla f′(x) = 5·(x² − 3x + 1)⁴·(2x − 3) olur. x = 1 için parantezin içi 1 − 3 + 1 = −1 ve (−1)⁴ = 1 bulunur; iç türev 2 − 3 = −1 olur. f′(1) = 5·1·(−1) = −5 çıkar.
Örnek 2. f(x) = √(x² + 9) eğrisinin x = 4 apsisli noktasındaki teğetinin eğimi kaçtır?
Çözüm. f′(x) = 2x/(2√(x² + 9)) = x/√(x² + 9) olur. x = 4 için √(16 + 9) = 5 olduğundan f′(4) = 4/5 bulunur. İç türev olan 2x ile çarpmayı unutmak 1/10 gibi yanlış bir sonuca götürür.
Örnek 3. Her x gerçek sayısı için f(2x − 1) = x³ + x olduğuna göre f′(3) kaçtır?
Çözüm. İki tarafın türevi alınır: 2·f′(2x − 1) = 3x² + 1. f′(3) için 2x − 1 = 3, yani x = 2 yazılır: 2·f′(3) = 12 + 1 = 13. Buradan f′(3) = 13/2 bulunur. Sol taraftaki 2 çarpanı iç fonksiyonun türevidir; unutulursa sonuç 13 çıkar.
Sık yapılan hatalar
- İç fonksiyonun türeviyle çarpmayı unutmak.
- Dış türevi alırken iç fonksiyonu da değiştirmek; iç fonksiyon olduğu gibi kalır.
- h′(1) hesabında f′(1) kullanmak; doğrusu f′(g(1)) değeridir.
- f(2x − 1) eşitliğinde türev alırken x yerine istenen sayıyı doğrudan yazmak.
- [f(g(x))]′ = f′(g(x))·g′(x).
- ([g(x)]ⁿ)′ = n·[g(x)]ⁿ⁻¹·g′(x).
- Dış türev çarpı iç türev.