Konu anlatımı
Çarpımın türevi türevlerin çarpımı, bölümün türevi türevlerin bölümü değildir. Bu alt başlıkta çarpım ve bölüm kurallarını, kuralların uygulanışını ve fonksiyonların kuralı yerine yalnızca bazı değerlerinin verildiği soruları göreceksin.
Çarpım kuralı
f ve g türevli fonksiyonlar olmak üzere (f·g)′ = f′·g + f·g′ olur: birincinin türevi çarpı ikinci, artı birinci çarpı ikincinin türevi. f(x) = (x³ − 2)(x² + x) için f′(x) = 3x²·(x² + x) + (x³ − 2)·(2x + 1) bulunur. Çarpımı açıp terim terim türev almak da mümkündür; ama çarpanlar uzunsa ya da yalnızca bir noktadaki türev isteniyorsa kural daha kısadır. Kuralın özel bir durumu karedir: [f(x)]² ifadesinin türevi 2·f(x)·f′(x) olur.
Bölüm kuralı
g(x) ≠ 0 olan noktalarda (f/g)′ = (f′·g − f·g′)/g² olur: payın türevi çarpı payda, eksi pay çarpı paydanın türevi, bölü paydanın karesi. Paydaki sıra önemlidir, çünkü arada eksi işareti vardır. f(x) = (2x + 1)/(x − 3) için f′(x) = [2·(x − 3) − (2x + 1)·1]/(x − 3)² = −7/(x − 3)² bulunur. Payı sabit olan kesirlerde kural kısalır: 1/g ifadesinin türevi −g′/g² olur.
Değerlerle verilen fonksiyonlar
Bazı sorularda f ve g fonksiyonlarının kuralları değil, bir noktadaki değerleri ve türevleri verilir. Kurallar aynen uygulanır; yalnızca harflerin yerine sayılar yazılır. f(2) = 3, f′(2) = −1, g(2) = 5 ve g′(2) = 4 ise (f·g)′(2) = (−1)·5 + 3·4 = 7 ve (f/g)′(2) = ((−1)·5 − 3·4)/5² = −17/25 olur. Bu tür sorularda fonksiyon değeri ile türev değerini karıştırmamak gerekir.
Çözümlü örnekler
Örnek 1. f(x) = (x³ − 2)(x² + x) olduğuna göre f′(1) kaçtır?
Çözüm. f′(x) = 3x²·(x² + x) + (x³ − 2)·(2x + 1) olur. x = 1 için 3·2 + (−1)·3 = 6 − 3 = 3 bulunur. Türevi açmadan doğrudan sayı yazmak işlemi kısaltır.
Örnek 2. f(x) = x/(x² + 1) fonksiyonunun türevi nedir? Grafiğin x = 1 apsisli noktasındaki teğetinin eğimi kaçtır?
Çözüm. Bölüm kuralıyla f′(x) = [1·(x² + 1) − x·2x]/(x² + 1)² = (1 − x²)/(x² + 1)² bulunur. x = 1 için pay sıfır olur; teğetin eğimi 0'dır, yani teğet yataydır.
Örnek 3. f(2) = 3, f′(2) = −1, g(2) = 5 ve g′(2) = 4 olduğuna göre h(x) = [f(x)]² + 1/g(x) fonksiyonu için h′(2) kaçtır?
Çözüm. [f(x)]² ifadesinin türevi 2·f(x)·f′(x) olur: x = 2 için 2·3·(−1) = −6. 1/g(x) ifadesinin türevi −g′(x)/[g(x)]² olur: x = 2 için −4/25. Toplam −6 − 4/25 = −154/25 bulunur.
Sık yapılan hatalar
- (f·g)′ = f′·g′ yazmak.
- Bölüm kuralında payı f·g′ − f′·g sırasıyla yazıp işareti ters bulmak.
- Bölüm kuralında paydanın karesini almayı unutmak.
- [f(x)]² ifadesinin türevini 2·f(x) diye bırakıp f′(x) çarpanını yazmamak.
- (f·g)′ = f′·g + f·g′.
- (f/g)′ = (f′·g − f·g′)/g².
- (1/g)′ = −g′/g².