Konu anlatımı
Bir fonksiyonun tepe ve çukur noktaları türevle bulunur. Bu alt başlıkta kritik noktayı, yerel maksimum ve minimumu belirleyen işaret değişimini, kapalı bir aralıktaki en büyük ve en küçük değeri ve ekstremum değerlerinden yararlanarak bir denklemin kök sayısını bulmayı göreceksin.
Kritik nokta ve yerel ekstremum
Fonksiyonun tanımlı olduğu ve türevinin sıfır olduğu ya da türevinin bulunmadığı noktalara kritik nokta denir. Bir fonksiyon bir noktada, o noktanın yakınındaki bütün değerlerinden büyük ya da onlara eşit bir değer alıyorsa orada yerel maksimumu, küçük ya da eşit bir değer alıyorsa yerel minimumu vardır. Türevli bir fonksiyonun, tanım aralığının içindeki bir yerel ekstremum noktasında türevi sıfırdır; bu yüzden ekstremumlar kritik noktalar arasında aranır.
Kritik bir noktada türevin işareti artıdan eksiye geçiyorsa fonksiyon önce artıp sonra azalır: yerel maksimum. Eksiden artıya geçiyorsa yerel minimum vardır. İşaret değişmiyorsa ekstremum yoktur: f(x) = x⁴ − 4x³ için f′(x) = 4x²(x − 3) olur; x = 0 çift katlı köktür, türev iki yanında da negatiftir ve orada ekstremum yoktur. Tek ekstremum x = 3 noktasındaki yerel minimumdur ve değeri −27'dir.
Kapalı aralıkta mutlak ekstremum
Kapalı bir aralıkta sürekli olan fonksiyon en büyük ve en küçük değerini mutlaka alır; bu değerlere mutlak maksimum ve mutlak minimum denir. Bunlar ya aralığın içindeki bir kritik noktada ya da uç noktalarda bulunur. Yol şudur: aralığın içindeki kritik noktalar bulunur, bu noktalardaki ve iki uçtaki değerler hesaplanır, en büyüğü ve en küçüğü seçilir. İşaret tablosu kurmaya gerek yoktur; değerleri karşılaştırmak yeter.
Ekstremum değerleri ve kök sayısı
Üçüncü dereceden bir polinomun grafiği, yerel maksimum ve yerel minimum değerleri bilindiğinde kabaca çizilebilir ve f(x) = k denkleminin kök sayısı yatay doğruyla okunur. f(x) = x³ − 12x + 4 için f′(x) = 3(x − 2)(x + 2) olur; yerel maksimum değeri f(−2) = 20, yerel minimum değeri f(2) = −12'dir. y = k doğrusu bu iki değerin arasındaysa grafiği üç noktada keser; ikisinden birine eşitse iki noktada, bu aralığın dışındaysa tek noktada keser. Buna göre x³ − 12x + 4 = k denkleminin üç farklı gerçek kökü olması için −12 < k < 20 olmalıdır.
Çözümlü örnekler
Örnek 1. f(x) = x³ − 3x² + 1 fonksiyonunun [−1, 4] aralığındaki en büyük ve en küçük değeri kaçtır?
Çözüm. f′(x) = 3x² − 6x = 3x(x − 2) olur; kritik noktalar 0 ve 2 aralığın içindedir. Değerler hesaplanır: f(−1) = −1 − 3 + 1 = −3, f(0) = 1, f(2) = 8 − 12 + 1 = −3 ve f(4) = 64 − 48 + 1 = 17. En büyük değer 17, en küçük değer −3 olur; en küçük değer iki ayrı noktada alınır. Yalnızca kritik noktalara bakılsaydı en büyük değer 1 sanılırdı.
Örnek 2. f(x) = x³ + ax² + bx fonksiyonunun x = 1 noktasında yerel ekstremumu vardır ve bu ekstremum değeri −5'tir. a ve b kaçtır? Bu ekstremum maksimum mudur, minimum mudur?
Çözüm. f′(x) = 3x² + 2ax + b olur. Ekstremum noktasında türev sıfırdır: 3 + 2a + b = 0. Değer koşulu f(1) = 1 + a + b = −5, yani a + b = −6 verir. İki eşitlik taraf tarafa çıkarılınca a + 3 = 6, a = 3 ve b = −9 bulunur. f′(x) = 3x² + 6x − 9 = 3(x − 1)(x + 3) olur; x = 1 noktasında işaret eksiden artıya geçtiği için bu bir yerel minimumdur.
Örnek 3. x³ − 12x + 4 = k denkleminin üç farklı gerçek kökü olmasını sağlayan kaç k tam sayısı vardır?
Çözüm. f(x) = x³ − 12x + 4 fonksiyonunun yerel maksimum değeri 20, yerel minimum değeri −12'dir. Üç farklı kök için −12 < k < 20 olmalıdır. Bu aralıktaki tam sayılar −11'den 19'a kadardır ve 31 tanedir. k = 20 ya da k = −12 için doğru grafiğe teğet olur ve farklı kök sayısı ikiye düşer; bu değerler alınmaz.
Sık yapılan hatalar
- Türevin sıfır olduğu her noktayı ekstremum saymak.
- Yerel maksimum değeri olarak noktanın apsisini yazmak; değer f(a) sayısıdır.
- Kapalı aralıkta uç noktaları hesaplamamak.
- Kök sayısı sorusunda sınır değerlerini de üç köklü saymak.
- Ekstremumlar kritik noktalar arasında aranır; işaret değişimi belirler.
- Kapalı aralıkta: kritik noktalardaki ve uçlardaki değerleri karşılaştır.
- Üçüncü derecede f(x) = k denkleminin üç kökü vardır ancak k yerel minimum ile yerel maksimum değerleri arasındaysa.