Konu anlatımı
Bir fonksiyonun nerede yükselip nerede alçaldığı, türevinin işaretinden okunur. Bu alt başlıkta türevin işareti ile artanlık arasındaki ilişkiyi, türevin işaret tablosunu kurmayı ve bir fonksiyonun bütün gerçek sayılarda artan ya da azalan olması için gereken koşulu göreceksin.
Türevin işareti
Bir aralığın her noktasında f′(x) > 0 ise teğetlerin eğimi pozitiftir ve f o aralıkta artandır; f′(x) < 0 ise f azalandır. Türevin tek tek noktalarda sıfır olması bu sonucu değiştirmez: f(x) = x³ için f′(x) = 3x² yalnızca x = 0 için sıfırdır ve fonksiyon bütün gerçek sayılarda artandır. Bir aralıkta türev her yerde sıfırsa fonksiyon o aralıkta sabittir.
İşaret tablosu
Artan ve azalan aralıkları bulmak için türev alınır, çarpanlarına ayrılır ve kökleri sayı doğrusunda sıralanır. Köklerin ayırdığı her aralıkta türevin işareti belirlenir; artı olan aralıklarda fonksiyon artan, eksi olan aralıklarda azalandır. f(x) = x³ − 3x² − 9x + 2 için f′(x) = 3x² − 6x − 9 = 3(x − 3)(x + 1) olur. Türev x < −1 için pozitif, −1 < x < 3 için negatif, x > 3 için pozitiftir: fonksiyon (−∞, −1) ve (3, ∞) aralıklarında artan, (−1, 3) aralığında azalandır. Türevin çift katlı köklerinde işaret değişmez.
Her yerde artan ya da azalan fonksiyon
Bir polinom fonksiyonun bütün gerçek sayılarda artan olması için türevi hiçbir yerde negatif olmamalıdır: her x için f′(x) ≥ 0. Üçüncü dereceden bir fonksiyonda türev ikinci derecedendir; bu koşul, türevin baş katsayısının pozitif ve diskriminantının sıfır ya da negatif olması demektir. Diskriminant sıfır olduğunda türev yalnızca bir noktada sıfırdır ve fonksiyon yine artandır. Her yerde azalan olma koşulu benzerdir: baş katsayı negatif ve diskriminant sıfır ya da negatif olmalıdır.
Çözümlü örnekler
Örnek 1. f(x) = x⁴ − 8x² + 3 fonksiyonunun artan olduğu aralıklar hangileridir?
Çözüm. f′(x) = 4x³ − 16x = 4x(x − 2)(x + 2) olur; kökler −2, 0 ve 2'dir. En sağdaki aralıkta türev pozitiftir ve her kökte işaret değişir: x > 2 için artı, 0 < x < 2 için eksi, −2 < x < 0 için artı, x < −2 için eksi. Fonksiyon (−2, 0) ve (2, ∞) aralıklarında artandır.
Örnek 2. f(x) = x³ + ax² + 3x + 1 fonksiyonu bütün gerçek sayılarda artan olduğuna göre a kaç farklı tam sayı değeri alabilir?
Çözüm. f′(x) = 3x² + 2ax + 3 her x için sıfır ya da pozitif olmalıdır. Baş katsayı pozitif olduğundan diskriminant sıfır ya da negatif olmalıdır: 4a² − 36 ≤ 0, yani −3 ≤ a ≤ 3. Bu aralıkta 7 tam sayı vardır. a = 3 için f′(x) = 3(x + 1)² olur; türev yalnızca bir noktada sıfırdır ve fonksiyon artandır, bu yüzden uç değerler de alınır.
Örnek 3. f(x) = x³ − 6x² + mx fonksiyonunun azalan olduğu aralık (1, 3) olduğuna göre m kaçtır?
Çözüm. Fonksiyon türevin negatif olduğu aralıkta azalandır; yani f′(x) = 3x² − 12x + m ifadesinin kökleri 1 ve 3 olmalıdır. Kökleri 1 ve 3, baş katsayısı 3 olan ifade 3(x − 1)(x − 3) = 3x² − 12x + 9 olur. Buna göre m = 9 bulunur.
Sık yapılan hatalar
- Artanlığı türevin değil, fonksiyonun kendi işaretine göre belirlemek.
- Her yerde artanlık koşulunda diskriminantı kesin negatif alıp uç değerleri kaybetmek.
- Türevin sıfır olduğu her noktada fonksiyonun yön değiştirdiğini düşünmek.
- Artan aralıkları fonksiyonun değerleriyle, yani y ekseni üzerinden yazmak.
- f′ > 0: artan; f′ < 0: azalan.
- Türevi çarpanlarına ayır, işaret tablosu kur.
- Her yerde artan üçüncü derece fonksiyon: türevin baş katsayısı pozitif ve Δ ≤ 0.