Konu anlatımı
Bazı sorularda f fonksiyonunun kendi grafiği değil, türevinin grafiği verilir ve f hakkında yorum istenir. Bu alt başlıkta türev grafiğinin işaretinden artan ve azalan aralıkları, eksenle kesişimlerinden ekstremum noktalarını ve yüksekliğinden teğet eğimini okumayı göreceksin.
Okuma kuralları
Türev grafiğine bakarken sorulan şey grafiğin yükselip alçalması değil, x ekseninin üstünde mi altında mı olduğudur. f′ grafiği eksenin üstündeyse f artan, altındaysa f azalandır. f′ grafiği ekseni keserek öbür yana geçiyorsa o noktada f fonksiyonunun yerel ekstremumu vardır: yukarıdan aşağıya geçiyorsa yerel maksimum, aşağıdan yukarıya geçiyorsa yerel minimum. Grafik eksene değip aynı yanda kalıyorsa türev sıfırdır ama işaret değişmez; ekstremum yoktur.
Bir türev grafiğini çözümlemek
f′ grafiği x eksenini −2, 1 ve 4 apsisli noktalarda kessin; x < −2 için eksenin altında, −2 ile 1 arasında üstünde, 1 ile 4 arasında altında, x > 4 için üstünde olsun. Buna göre f fonksiyonu (−∞, −2) aralığında azalan, (−2, 1) aralığında artan, (1, 4) aralığında azalan ve (4, ∞) aralığında artandır. x = −2 ve x = 4 noktalarında yerel minimum, x = 1 noktasında yerel maksimum vardır. Artan olduğu aralıkta daha sağdaki noktada değer daha büyük olduğundan f(−1) < f(0) gibi karşılaştırmalar da yapılabilir.
Türev grafiğinin yüksekliği
f′ grafiğinin bir noktadaki yüksekliği, f grafiğinin o noktadaki teğetinin eğimidir. Bu yüzden f′ grafiğinin en yüksek noktası, f fonksiyonunun en büyük değerini değil, en dik yükseldiği yeri gösterir. f′ grafiğinin x eksenini kestiği noktalar ise f grafiğinde yatay teğetlerin bulunduğu noktalardır. Türev grafiğinden f fonksiyonunun değerleri okunamaz; yalnızca nasıl değiştiği okunur.
Çözümlü örnekler
Örnek 1. Türevi f′(x) = (x − 1)²(x + 2)(x − 5) olan f fonksiyonunun kaç yerel ekstremum noktası vardır?
Çözüm. Türevin kökleri −2, 1 ve 5'tir; 1 çift katlıdır. En sağdaki aralıkta türev pozitiftir. x = 5 noktasında işaret değişir: (1, 5) aralığında eksi. x = 1 noktasında işaret değişmez: (−2, 1) aralığında yine eksi. x = −2 noktasında işaret değişir: x < −2 için artı. İşaret yalnızca −2 ve 5 noktalarında değiştiğinden 2 yerel ekstremum vardır: x = −2 noktasında yerel maksimum, x = 5 noktasında yerel minimum.
Örnek 2. f′ fonksiyonunun grafiği, x eksenini −1 ve 3 apsisli noktalarda kesen ve kolları aşağı doğru olan bir paraboldür. f fonksiyonu hangi aralıkta artandır ve hangi noktalarda yerel ekstremumu vardır?
Çözüm. Kolları aşağı doğru olan parabol köklerinin arasında eksenin üstündedir: f′ yalnızca (−1, 3) aralığında pozitiftir ve f bu aralıkta artandır. x = −1 noktasında türev eksiden artıya geçer: yerel minimum. x = 3 noktasında artıdan eksiye geçer: yerel maksimum. Parabolün tepe noktası x = 1 apsislidir; burası f fonksiyonunun ekstremumu değil, grafiğinin en dik yükseldiği yerdir.
Sık yapılan hatalar
- f′ grafiğinin yükseldiği yerde f fonksiyonunun artan olduğunu söylemek; ölçüt işarettir.
- f′ grafiğinin tepe noktasını f fonksiyonunun yerel maksimumu sanmak.
- f′ grafiğinin eksene değip döndüğü noktayı ekstremum saymak.
- f′ grafiğinden f fonksiyonunun değerini okumaya çalışmak.
- f′ eksenin üstünde: f artan; altında: f azalan.
- f′ ekseni keserek geçiyorsa f fonksiyonunun yerel ekstremumu vardır.
- f′ grafiğinin yüksekliği teğetin eğimidir.