Konu anlatımı
Türev alma kurallarını ezberlemek kolaydır; asıl önemli olan türevin ne olduğunu bilmektir. Bu alt başlıkta türevin limitle tanımını, ortalama değişim hızından anlık değişim hızına geçişi, teğet eğimi ve hız yorumlarını ve verilen bir limiti türev olarak tanımayı göreceksin.
Ortalamadan anlığa
f fonksiyonunun [a, a + h] aralığındaki ortalama değişim hızı [f(a + h) − f(a)]/h oranıdır; bu, grafikte (a, f(a)) ve (a + h, f(a + h)) noktalarından geçen kesenin eğimidir. h sıfıra yaklaştıkça ikinci nokta birinciye yaklaşır ve kesen, eğrinin o noktadaki teğetine dönüşür. Oranın limiti varsa bu limite f fonksiyonunun a noktasındaki türevi denir: f′(a) = lim (h → 0) [f(a + h) − f(a)]/h. Aynı tanım x = a + h yazılarak f′(a) = lim (x → a) [f(x) − f(a)]/(x − a) biçiminde de ifade edilir.
Tanımla türev hesaplamak
f(x) = x² + 3x fonksiyonunun x = 2 noktasındaki türevi tanımla şöyle bulunur: f(2 + h) = (2 + h)² + 3(2 + h) = 10 + 7h + h² ve f(2) = 10 olduğundan oran (7h + h²)/h = 7 + h olur; h sıfıra yaklaşırken limit 7'dir. Yani f′(2) = 7 bulunur. Her x için aynı işlem yapılırsa türev fonksiyonu elde edilir: f′(x) = 2x + 3. Türev alma kuralları, bu limitin her seferinde yeniden hesaplanmasını önleyen kısa yollardır.
Hız ve ivme
Bir doğru boyunca hareket eden cismin t anındaki konumu s(t) ise bir zaman aralığındaki ortalama hız, konum değişiminin geçen süreye oranıdır; t anındaki anlık hız ise v(t) = s′(t) olur. Hızın türevi ivmeyi verir: a(t) = v′(t). İvme, konumun art arda iki kez türevinin alınmasıyla bulunduğu için ikinci türev diye adlandırılır ve s′′(t) biçiminde yazılır.
Limiti türev olarak tanımak
Bazı limitler aslında bir türevin tanımıdır. lim (x → 2) (x³ − 8)/(x − 2) limiti, f(x) = x³ fonksiyonunun x = 2 noktasındaki türevidir; f′(x) = 3x² olduğundan limit 12'dir. Tanımdaki h yerine 2h gibi bir ifade varsa payda da aynı ifadeye tamamlanır: lim (h → 0) [f(3 + 2h) − f(3)]/h limiti 2·f′(3) değerine eşittir, çünkü ifade 2·[f(3 + 2h) − f(3)]/(2h) biçiminde yazılabilir.
Çözümlü örnekler
Örnek 1. Bir doğru boyunca hareket eden cismin t saniye sonraki konumu s(t) = t³ − 6t² + 15t metredir. Cismin [1, 3] zaman aralığındaki ortalama hızı ve t = 2 anındaki hızı ile ivmesi kaçtır?
Çözüm. s(1) = 1 − 6 + 15 = 10 ve s(3) = 27 − 54 + 45 = 18 olduğundan ortalama hız (18 − 10)/(3 − 1) = 4 metre/saniye olur. Anlık hız v(t) = s′(t) = 3t² − 12t + 15 ve v(2) = 12 − 24 + 15 = 3 metre/saniye bulunur. İvme a(t) = v′(t) = 6t − 12 olduğundan t = 2 anında ivme sıfırdır.
Örnek 2. f′(3) = 5 olduğuna göre lim (h → 0) [f(3 + 2h) − f(3)]/h limiti kaçtır?
Çözüm. Paydanın, paydaki artışla aynı olması gerekir. İfade 2 ile çarpılıp bölünür: 2·[f(3 + 2h) − f(3)]/(2h). h sıfıra yaklaşırken 2h de sıfıra yaklaşır ve köşeli parantezli oran f′(3) değerine gider. Limit 2·5 = 10 olur.
Örnek 3. f(x) = x² fonksiyonunun [1, 3] aralığındaki ortalama değişim hızı ile x = 1 noktasındaki anlık değişim hızı kaçtır?
Çözüm. Ortalama değişim hızı (f(3) − f(1))/(3 − 1) = (9 − 1)/2 = 4 olur. Anlık değişim hızı türevdir: f′(x) = 2x ve f′(1) = 2. Ortalama hız aralığın tamamına, anlık hız tek bir noktaya aittir; ikisi genellikle farklıdır.
Sık yapılan hatalar
- Ortalama değişim hızı ile anlık değişim hızını karıştırmak.
- Tanımda payda h iken paydaki artış 2h olduğunda limiti doğrudan f′(a) saymak.
- Türevi fonksiyonun o noktadaki değeri sanmak; türev, değerin değişme hızıdır.
- Hız sorulduğunda konum fonksiyonunda zamanı yerine yazmak.
- f′(a) = lim (h → 0) [f(a + h) − f(a)]/h.
- Türev, teğetin eğimi ve anlık değişim hızıdır.
- Hız konumun, ivme hızın türevidir.