Konu anlatımı
Türevin geometrik anlamı teğetin eğimidir. Bu alt başlıkta bir eğrinin verilen noktasındaki teğet ve normal denklemini yazmayı, eğimi bilinen teğetin değme noktasını bulmayı, bir doğrunun eğriye teğet olma koşulunu ve eğrinin dışındaki bir noktadan çizilen teğetleri göreceksin.
Teğet ve normal denklemi
y = f(x) eğrisinin x = a apsisli noktası (a, f(a)) noktasıdır ve teğetin eğimi f′(a) olur. Bir noktası ve eğimi bilinen doğru denklemiyle teğet y − f(a) = f′(a)·(x − a) biçiminde yazılır. Normal, aynı noktadan geçen ve teğete dik olan doğrudur; dik doğruların eğimleri çarpımı −1 olduğundan f′(a) ≠ 0 için normalin eğimi −1/f′(a) olur. f′(a) = 0 ise teğet yatay, normal düşeydir ve normalin denklemi x = a olur.
Eğimi verilen teğet
Teğetin eğimi verilmişse değme noktasının apsisi f′(x) = m denkleminden bulunur. Teğetin bir doğruya paralel olması eğimlerin eşit, dik olması eğimler çarpımının −1 olması demektir. Teğetin x eksenine paralel olduğu noktalar f′(x) = 0 denkleminin kökleridir. f(x) = x³ − 3x² + 2 için f′(x) = 3x² − 6x = 0 eşitliğinden x = 0 ve x = 2 bulunur; yatay teğetlerin değme noktaları (0, 2) ve (2, −2) noktalarıdır.
Doğrunun eğriye teğet olması
y = mx + n doğrusu y = f(x) eğrisine x = a apsisli noktada teğetse iki koşul birlikte sağlanır: nokta iki grafiğin de üzerindedir, yani f(a) = m·a + n olur; eğimler eşittir, yani f′(a) = m olur. Bu iki eşitlik iki bilinmeyeni verir. Yalnızca eğimleri eşitlemek, doğrunun eğriye paralel bir teğetle aynı yönde olduğunu gösterir; değme için noktanın da ortak olması gerekir.
Dış noktadan çizilen teğet
Eğrinin üzerinde olmayan bir noktadan teğet çizilecekse değme noktasının apsisine t denir. Değme noktası (t, f(t)), teğetin eğimi f′(t) olur. Verilen noktayı değme noktasına birleştiren doğrunun eğimi de f′(t) değerine eşit olmalıdır; bu eşitlik t için bir denklem verir. Verilen noktayı eğrinin üzerindeymiş gibi düşünüp türevde yerine yazmak bu soru türündeki en yaygın hatadır.
Çözümlü örnekler
Örnek 1. f(x) = x² − 4x + 5 eğrisinin x = 3 apsisli noktasındaki teğetinin ve normalinin denklemi nedir?
Çözüm. f(3) = 9 − 12 + 5 = 2 olduğundan nokta (3, 2) olur. f′(x) = 2x − 4 ve f′(3) = 2 bulunur. Teğet y − 2 = 2(x − 3), yani y = 2x − 4 olur. Normalin eğimi −1/2 olur: y − 2 = −(1/2)(x − 3), yani y = −x/2 + 7/2.
Örnek 2. f(x) = x³ + ax + b eğrisi (1, 4) noktasında y = 5x − 1 doğrusuna teğettir. a ve b kaçtır?
Çözüm. Eğimler eşit olmalıdır: f′(x) = 3x² + a ve f′(1) = 3 + a = 5, buradan a = 2. Nokta eğrinin üzerinde olmalıdır: f(1) = 1 + 2 + b = 4, buradan b = 1. Kontrol: doğru da aynı noktadan geçer, çünkü 5·1 − 1 = 4.
Örnek 3. (0, −3) noktasından y = x² + 1 parabolüne çizilen teğetlerin eğimleri kaçtır?
Çözüm. Değme noktası (t, t² + 1) ve teğetin eğimi 2t olsun. (0, −3) noktasını değme noktasına birleştiren doğrunun eğimi (t² + 1 − (−3))/(t − 0) = (t² + 4)/t olur. Bu eğim 2t değerine eşitlenir: t² + 4 = 2t², yani t² = 4 ve t = 2 ya da t = −2. Teğetlerin eğimleri 4 ve −4 olur.
Sık yapılan hatalar
- Teğet denkleminde f(a) yerine f′(a) yazmak ya da tersini yapmak.
- Normalin eğimini −f′(a) almak; doğrusu −1/f′(a) değeridir.
- Dış noktadan teğet sorusunda verilen noktanın apsisini türevde yerine yazmak.
- Teğet olma koşulunda yalnızca eğimleri eşitleyip noktanın ortak olmasını denetlememek.
- Teğet: y − f(a) = f′(a)·(x − a).
- Normalin eğimi −1/f′(a) olur.
- Doğru eğriye teğetse hem değerler hem eğimler eşittir.